Основания геометрии, часть 2, Каган В.Ф., 1956

Основания геометрии, Часть 2, Каган В.Ф., 1956.
 
  Согласно планам автора книги В. Ф. Кагана «Основания геометрии» должны были состоять из трех частей. Первая часть, посвященная обстоятельному изложению геометрии Лобачевского, составила содержание первого тома, вышедшего в свет в 1949 г. Во вторую часть предполагалось включить историю признания геометрии Лобачевского и доказательство се непротиворечивости на базе изучения важнейших ее интерпретаций. Наконец, третья часть должна была содержать аксиоматику евклидовой и неевклидовых геометрий вместе с построением их на аксиоматической основе. Вторая и третья части составили бы, по предположениям автора, второй том сочинения.




Дефекты рассуждения Бельтрами.
Однако тщательное обсуждение мемуара Бельтрами обнаружило дефекты, вследствие которых этот вывод нельзя считать вполне обоснованным. Все рассуждения Бельтрами основаны на том допущении, что существует такая псевдосферическая поверхность, которая однозначно отображается на весь единичный круг так, что геодезические линии поверхности переходят в прямые. Бельтрами, как уже отмечено выше, даже пытается это утверждение обосновать; однако рассуждения, которые он для этого приводит, ни в коем случае не могут быть признаны достаточными.

Выводы Бельтрами в существе своем основаны на том, что основная метрическая форма псевдосферической поверхности в надлежащих координатах всегда может быть приведена к виду (7); но и на гиперболической плоскости, как мы знаем, ее основная метрическая форма также имеет тот же вид. В том обстоятельстве, что псевдосферическая поверхность и гиперболическая плоскость при надлежащей координации имеют общую основную метрическую форму, заключается вся суть вывода Бельтрами. Он основывается на том, что внутренняя геометрия поверхности определяется •ее метрической формой: при общности метрической формы псевдосфериче-•ской поверхности и гиперболической плоскости они несут на себе ту же геометрию. Но дело в том, что самое предложение, формулированное выше, носит локальный характер, т. е. справедливо лишь в некоторой окрестности каждой точки. Чтобы оправдать вывод Бельтрами, нужно найти такую псевдо сферическую поверхность, которая по его методу может быть полностью однозначно отображена на весь единичный круг или, что сводится к тому же, на которой геодезические линии, выходящие из одной точки, являются гладкими кривыми и неограниченно простираются в обе стороны. Бельтрами это принимает, но соображения, которыми он старается это оправдать, как уже сказано, нельзя считать убедительными.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Основания геометрии, часть 2, Каган В.Ф., 1956 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Каган