Теория поверхностей, Розендорн Э.Р., 2006

Площадь поверхности.
1°. Напомним, что на плоскости в основу измерения площадей кладется понятие площади прямоугольника, исходя из которого при помощи предельного перехода определяется площадь любой квадрируемой фигуры.

Понятие площади поверхности также определяется при помощи предельного перехода. Мы будем считать известным понятие площади для плоских фигур и будем на него опираться, определяя площадь поверхности.

Сначала мы обсудим способ приближенного нахождения площади поверхности, не определяя точно это понятие, а руководствуясь лишь наглядными соображениями. Затем сформулируем определение и выведем формулу для вычисления.
Площадь будем обозначать буквой б (например, б(А) — площадь некоторой геометрической фигуры А).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Из предисловия к первому изданию 7
Часть I
Глава I. Поверхности вида z=f(x,y) 8
§1. Касательная плоскость 8
§2. Нормаль. Гауссово сферическое отображение 15
§3. Площадь поверхности 18
§4. Кривизна нормальных сечений и классификация точек поверхности 24
Часть II
Глава 2. Поверхности, заданные параметрически. Локальное строение поверхностей 31
§5. Вектор-функции двух аргументов 31
§6. Параметрическое задание поверхностей 34
§7. Преобразование координат на поверхности 43
§8. Первая квадратичная форма 50
§9. Вычисление углов и площадей. Понятие о внутренней геометрии поверхности 54
§10. Кривизна линий на поверхности. Теорема Менье 63
§11. Вторая квадратичная форма 71
§12. Главные кривизны и главные направления. Теорема Родрига. Линии кривизны 78
§13*. Развертывающиеся и минимальные поверхности 92
§14. Ортонормированный сопровождающий трехгранник 96
Глава 3. Поверхность в целом. Задание поверхности двумя квадратичными формами
§15. Общее понятие поверхности
§16. Теорема единственности
§17 Внешнее произведение линейных дифференциальных форм и внешний дифференциал 123
§18 Уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци 126
Глава 4 Внутренняя геометрия и изгибание поверхностей 129
§19 Изометрия и изгибание Теорема Гаусса 129
§20* Неизгибаемость сферы 140
§21 Геодезическая кривизна 146
§22 Геодезические линии и полугеодезические координаты 150
§23 Поворот кривой на поверхности Формула Гаусса-Бонне и ее следствия 157
§24 Двумерная риманова метрика 161
§25* Доказательство формулы Гаусса-Бонне 165
Часть III
Глава 5 Ортогональные криволинейные координаты в пространстве 172
§26 Геометрическое истолкование пространственных криволинейных координат 172
§27 Ортогональные координаты Коэффициенты Ламе 176
§28 Теорема Дюпена 184
§29 О построении пространственных ортогональных и приближенно ортогональных координат 186
§30 Деривационные формулы 194
§31 Дифференциальные параметры Бельтрами 202
Глава 6 Огибающая и дискриминанта семейства поверхностей 205
§32 Огибающая 205
§33 Дискриминанта 217
Глава 7 Бесконечно-малые изгибания и жесткость поверхностей 230
§34 Постановка задачи Уравнения бесконечно малых изгибаний 230
§35 Диаграмма арашенин 234
§36 Начальное поле скоростей деформации Связь бесконечно малых изгибаний с изгибаниями поверхности 242
§37 Понятие о жесткости поверхностей 247
§38* Бесконечно малые изгибания поверхностей вращения 256
§39* Жесткость овалоидов 260
Добавления 269
§40* Деривационные формулы Гаусса. Символы Кристоффеля Вычисление геодезической кривизны в произвольных криволинейных координатах Теорема Бура 269
§41*. Геометрические подходы в математическом описании цветового зрения 278
Заключение 292
Предметный указатель 293
Список литературы 297.

Купить книгу Теория поверхностей, Розендорн Э.Р., 2006 .

Купить книгу Теория поверхностей, Розендорн Э.Р., 2006 .