Метод интегральных уравнений в математической физике, Сетуха А.В., 2023

Метод интегральных уравнений в математической физике, Сетуха А.В., 2023.

   В учебном пособии рассмотрено применение интегральных уравнений в задачах математической физики. Даны сведения, позволяющие сводить задачи для уравнений в частных производных к интегральным уравнениям. Изложены численные методы решения возникающих интегральных уравнений, показано применение интегральных уравнений при решении краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца, приложение метода интегральных уравнений к численному решению задач аэродинамики и рассеяния волн.
Книга предназначена для студентов, обучающихся по образовательным программам по направлениям 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» (бакалавриат), 01.04.02 «Прикладная математика и информатика» (магистратура), 09.06.01 «Информатика и вычислительная техника» (аспирантура).




Конечно-элементный вариант метода Галеркина.
Пусть множество D разбито на систему ячеек σi, i = 1, ..., n, или аппроксимируется этой системой ячеек. В случае если множество аппроксимируется системой ячеек, мы предполагаем, что объединение всей ячеек есть некоторое множество D, и что функции а(х), К(х,у), f(х), определяющие уравнение (4.5), определены или могут быть продолжены на множество D.

В методе конечных элементов для аппроксимации решения и в качестве тестовых используются системы функций, каждая из которых имеет носителем одну или несколько ячеек. В случае, когда решаются дифференциальные уравнения в частных производных, в качестве таких функций обычно используют кусочно-линейные функции. Аппроксимация кусочно-линейными функциями обеспечивает непрерывность приближенного решения. Однако, в случае интегральных уравнений Фредгольма достаточно кусочной непрерывности базисных функций, и, поэтому, эффективной и, в то же время, наиболее простой при реализации, становится кусочно-постоянная аппроксимация, аналогичная той, которая уже была описана в методе кусочно-постоянных аппроксимаций и коллокаций.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Введение.
1 Интегралы и интегральные операторы.
1.1 Интегралы по различным областям интегрирования.
1.1.1 Кратные интегралы.
1.1.2 Криволинейные интегралы.
1.1.3 Поверхностные интегралы 1-го рода. Задание поверхностей.
1.1.4 О некоторых общих свойствах интегралов.
1.2 Несобственные интегралы с полярной особенностью.
1.2.1 Понятие о несобственном интеграле с полярной особенностью.
1.2.2 Несобственный кратный интеграл с полярной особенностью.
1.2.3 Несобственный криволинейный интеграл.
1.2.4 Несобственный поверхностный интеграл.
1.2.5 Равномерная ограниченность несобственных интегралов.
1.3 Функции, непрерывные по Гельдеру.
1.4 Линейные интегральные операторы с интегрируемым ядром.
1.5 Сингулярный интеграл в смысле главного значения.
1.5.1 Сингулярный интеграл на отрезке.
1.5.2 Общее определение интеграла в смысле главного значения. Кратный сингулярный интеграл.
1.6 Гиперсингулярный интеграл.
1.7 Приложение к главе 1.
2 Основные формулы теории потенциала.
2.1 Основные интегральные теоремы.
2.2 Формулы Грина для дифференциального оператора.
2.3 Уравнения Лапласа, Пуассона, Гельмгольца. Потенциалы.
2.4 Решения однородных уравнений Лапласа и Гельмгольца во внешней области.
2.5 Решение уравнения Пуассона во всем пространстве.
2.6 Восстановление векторного поля по ротору и дивергенции. Пространственный случай.
2.7 Восстановление векторного поля по ротору и дивергенции. Плоский случай.
2.8 Восстановление векторного поля по ротору и дивергенции. Область в границей.
3 Поверхностные потенциалы.
3.1 Понятие краевых значений.
3.2 Некоторые вспомогательные утверждения.
3.3 Непрерывность потенциала простого слоя.
3.4 Краевые значения потенциала двойного слоя.
3.4.1 Прямые значения потенциала двойного слоя.
3.4.2 Потенциал двойного слоя с плотностью равной 1.
3.4.3 Краевые значения потенциала двойного слоя с непрерывной плотностью.
3.5 Нормальная производная потенциала простого слоя
3.6 Градиенты потенциалов. Плоский случай.
3.6.1 Точечные источник и вихрь.
3.6.2 Выражения для градиентов потенциалов простого и двойного слоя через слой источников и вихревой слой.
3.6.3 Связь градиентов потенциалов простого и двойного слоя с аналитическими функциями и интегралом Коши.
3.6.4 Значения интеграла Коши на контуре интегрирования.
3.6.5 Краевые значения интеграла Коши на контуре интегрирования. Формулы Сохоцкого.
3.6.6 Краевые значения градиентов потенциалов простого и двойного слоя на плоскости.
3.6.7 Выражение для краевых значений градиента потенциала двойного слоя непосредственно через его плотность.
3.7 Градиенты потенциалов. Пространственный случай.
3.7.1 Некоторые дополнительные свойства поверхностей. Поверхностный градиент. Средняя кривизна поверхности.
3.7.2 Формулы для поверхностных интегралов, содержащих поверхностный градиент.
3.7.3 Свойства контура, являющегося пересечением границы окрестности точки на поверхности с поверхностью.
3.7.4 Краевые значения градиента потенциала простого слоя.
3.7.5 Формула для градиента потенциала двойного слоя. Градиент потенциала двойного слоя уравнения Лапласа: вихревая нить, вихревой слой.
3.7.6 Краевые значения градиента потенциала двойного слоя.
4 Уравнения Фредгольма. О численных методах.
4.1 Уравнения Фредгольма. Теоремы Фредгольма.
4.2 О численных методах решения интегральных уравнений.
4.2.1 Общие замечания.
4.2.2 Метод коллокации с кусочно-постоянной аппроксимацией неизвестной функцией.
4.2.3 О разбиении области интегрирования на ячейки.
4.2.4 О приближенном вычислении интегралов по ячейкам.
4.2.5 Метод Галеркина. Конечно-элементная реализация.
4.3 Численное решение уравнений Фредгольма 2-го рода в случае неоднозначной разрешимости.
5 Краевые задачи для уравнений Лапласа и Гельмгольца.
5.1 Случай области с замкнутой границей.
5.1.1 Постановка основных краевых задач.
5.1.2 Сведение краевых задач к уравнениям Фредгольма 2-го рода.
5.1.3 Анализ разрешимости краевых задач для уравнения Лапласа и соответствующих интегральных уравнений.
5.2 О численном решении краевых задач.
5.3 Задача Дирихле на экране.
5.3.1 Постановка задачи.
5.3.2 Сведение задачи к интегральному уравнению и его численное решение.
5.4 Задача Неймана для уравнения Лапласа на разрезе.
5.4.1 Постановка задачи.
5.4.2 Единственность решения задачи.
5.4.3 Сведение задачи к сингулярному интегральному уравнению.
5.4.4 Сведение задачи к гиперсингулярному интегральному уравнению.
5.5 Задача Неймана для уравнения Лапласа на экране.
6 Приложения к задачам аэродинамики.
6.1 Основные уравнения для течений идеальной жидкости.
6.2 Плоское обтекание гладких профилей.
6.3 Задача об обтекании профиля крыла.
6.3.1 Постановка задачи. Условие Чаплыгина-Жуковского.
6.3.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.
6.3.3 Численный метод дискретных вихрей.
6.4 Обтекание тел в трехмерном случае.
6.5 Задача об обтекании крыла конечного размаха.
6.5.1 Постановка задачи.
6.5.2 Сведение задачи к интегральному уравнению.
6.5.3 Численная схема решения задачи методом вихревых рамок.
6.5.4 Расчет аэродинамических сил.
6.6 О вихревых методах.
7 Приложение к задачам рассеяния скалярных волн.
7.1 Уравнение для звуковых волн.
7.2 Плоская волна. Сферическая волна.
7.2.1 Плоская волна.
7.2.2 Сферическая волна.
7.3 Задача рассеяния.
7.4 Численное решение задачи рассеяния на жестких телах и экранах.
7.5 Численное решение задачи рассеяния на мягких телах и экранах.
8 Приложение к задачам рассеяния электромагнитных волн.
8.1 Уравнения Максвелла. Монохроматический случай.
8.2 Решения уравнений Максвелла с точечной особенностью.
8.3 Поверхностные векторные потенциалы.
8.4 Постановка задачи рассеяния на системе идеально проводящих тел и экранов.
8.5 Численное решение задач рассеяния на идеально проводящих объектах.
8.5.1 Численное решение задачи рассеяния на идеально проводящем теле.
8.5.2 Численное решение задачи рассеяния на системе идеально проводящих тел и экранов.
8.6 Рассеяние на диэлектрическом теле. Вывод объемных интегральных уравнений.
8.6.1 Постановка задачи.
8.6.2 Идея преобразований.
8.6.3 Вспомогательные утверждения.
8.6.4 Выражение электрического и магнитного полей через электрические и магнитные токи для вспомогательной задачи.
8.6.5 Запись объемных интегральных уравнений.
8.7 О методе интегральных уравнений в задачах электромагнитного рассеяния.
Литература.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Метод интегральных уравнений в математической физике, Сетуха А.В., 2023 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Сетуха