Семь лекций по вычислительной математике, Шноль Э.Э., 2004

Семь лекций по вычислительной математике, Шноль Э.Э., 2004.

   В настоящую книгу включены лекции по вычислительной математике, прочитанные автором в Путинском биологическом центре. Материал излагается в следующем порядке: сначала — основные идеи и общие соображения, затем, более глубоко — основы, а затем отдельные избранные вопросы со всеми подробностями. По мнению автора, обсуждение основных идей и рассмотрение простых примеров играет большую роль, чем общие теоремы.
Книга предназначена студентам и аспирантам математических вузов, а также всем, кто желает ознакомиться с методами вычислительной математики.




СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ.
В этой лекции в первом приближении будет рассмотрен вопрос о решении систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных уравнений часто встречаются в вычислительной практике. Особенно часто — как составная часть задачи. Так, например, можно сказать (это будет не очень далеко от истины), что в задачах математической физики мы вообще никаких уравнений кроме линейных не решаем: решение сложных нелинейных задач сводится к многократному решению линейных систем. Забегая вперед, я хочу подчеркнуть следующее. О задаче решения линейных систем как о единой задаче имеет смысл говорить лишь до тех пор, пока число уравнений невелико. В таком случае это есть сравнительно простая задача. Чем больше уравнений в системе, тем более специальную, специфическую структуру она обычно имеет, и тем более необходимо для решения этой системы использовать ее специальные свойства. Некоторые виды таких систем и специфические способы их решения мы рассмотрим позже.

СОДЕРЖАНИЕ.
Лекция 1. Общее введение.
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Постановка задачи Коши.
2. Теоретическое отступление.
3. Стандартная запись.
4. Метод Эйлера.
5. Более точные методы: использование старших производных.
6. Более точные методы: многократное использование заданного уравнения.
7. Идея Адамса: использование уже найденного участка решения для приближенного вычисления старших производных.
8. Исторические и другие-замечания.
9. Пример.
Дополнения и примечания к 1 лекции.
Лекция 2. Системы линейных уравнений. Метод исключения.
1. Метод исключения.
2. Трудности в методе исключения.
3. Трудности, связанные с приближенностью вычислений. Исключение с выбором главного элемента.
4. Всегда ли метод исключения с выбором главного элемента дает разумный результат?.
5. О трудоемкости метода исключения для общей системы n линейных уравнений.
6. Пример: трехдиагональная система.
7. Метод исключения и определители.
8. Решение системы линейных уравнений и обращение матриц Примечания ко 2 лекции.
Лекция 3. Нелинейные уравнения. Метод последовательных приближений.
1. Локальная постановка задачи.
2. Линеаризация.
3. Метод Ньютона.
4. Поведение последовательности х.
5. Алгебраические-уравнения.
6. Огрубленный метод Ньютона.
7. Метод Ньютона как метод итераций.
8. Достаточное условие сходимости итераций.
9. Добавления и уточнения к теореме о сходимости.
10. Сходимость огрубленного метода Ньютона для некратного корня.
11. Сходимость метода Ньютона.
12. Система двух уравнений.
13. Система уравнений. Метод Ньютона.
14. О сходимости метода Ньютона для системы уравнений.
15. Итерации в системах.
16. Процесс итераций в линейном приближении.
Заключительные замечания. Последовательные приближения для решения линейных систем.
Лекция 4. Приближенное дифференцирование и интегрирование.
1. Приближенное нахождение производной.
2. Вычисление второй производной.
3. Приближенное нахождение определенного интеграла.
4. Формула Симпсона.
5. Свойства формулы Симпсона.
6. Старшие производные.
7. Примеры дискретных задач, отвечающих задачам анализа.
8. Линейные дифференциальные и линейные разностные уравнения.
9. Три примера.
Лекция 5. Уравнения в частных производных. Проблема устойчивости разностных аппроксимаций.
1. Вводные замечания.
2. Уравнения.
3. Простейшие разностные аппроксимации.
4. Теорема.
5. Определение устойчивости.
6. Пояснения и замечания к определению устойчивости.
7. Обнаружение неустойчивости разностных аппроксимаций по методу Фурье.
8. Пример доказательства устойчивости разностной схемы.
Лекция 6. Уравнения в частных производных. Неявные разностные аппроксимации. Вопрос о точности приближений.
1. Простейшая неявная схема.
2. Решение уравнений на слое. Прогонка.
3. Об устойчивости неявной схемы (4).
4. Еще один пример.
5. О необходимом условии устойчивости.
6. Типичная картина при возникновении неустойчивости.
7. Линеаризация и «замораживание» коэффициентов.
8. Понятие о точности разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений.
9. Определение порядка точности при приближенном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений.
10. Заключительные замечания.
Дополнения и примечания к 6 лекции.
Лекция 7. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Предварительные замечания.
2. Постановка задачи.
3. Способ решения краевой задачи, вытекающий из теории дифференциальных уравнений.
4. К чему может привести «сокращение знаков».
5. Отступление. Что значит «хорошая» краевая задача?.
6. Разностная задача, отвечающая краевой задаче I.
7. Идея переноса граничных условий.
8. «Прогонка» для дифференциального уравнения у"+q(x)y=f(x).
9. Аналогия с дискретной задачей.
Дополнение. Некоторые учебники по вычислительной математике.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Семь лекций по вычислительной математике, Шноль Э.Э., 2004 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Шноль