Лекции по теории алгебраических чисел, Гекке Э., 1940

Лекции по теории алгебраических чисел, Гекке Э., 1940.

  Предлагаемая книга, составленная на основе лекций, которые я многократно читал в Базеле, Геттингене и Гамбурге, имеет своей целью, не предполагая у читателя никаких предварительных сведений из теории чисел, подвести его к пониманию вопросов, стоящих в центре внимания современной теории алгебраических числовых полей. Первые семь глав по материалу не содержат ничего нового. Что же касается формы изложения, то при выборе ее я исходил из современного развития математики и особенно арифметики и прежде всего всюду использовал способы выражения и методы теории групп, что дало возможность получить существенные формальные и идейные упрощения; необходимые для этого теоремы о конечных и бесконечных абелевых группах изложены во второй главе.




Квадратичные характеры и суммы Гаусса в произвольных числовых полях.
Суммы Гаусса впервые встретились нам при определении числа классов квадратичных полей. К выражениям подобного рода приходят во многих других проблемах, и Гаусс был первый, кто понял, какую большую роль они играют в арифметике. Он обратил внимание на связь между этими суммами и квадратичным законом взаимности и показал, как из определения значений этих сумм получить доказательство закона взаимности. В настоящее время известен целый ряд методов для вычисления этих сумм. Особый интерес для нас представляет трансцендентный метод Коши, поскольку он поддается обобщению.

В 1919 г. автор распространил понятие сумм Гаусса на произвольные алгебраические числовые ноля). Упомянутый метод Коши удалось применить и к вычислению этих сумм, и таким образом получилось трансцендентное доказательство квадратичного закона взаимности для любого алгебраического поля. Это доказательство и будет в дальнейшем изложено.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Из предисловия автора.
Глава I. Элементы теории целых рациональных чисел.
§1. Делимость. Наибольший общий делитель. Модули. Простые числа. Основная теорема теории чисел.
§2. Сравнения и классы вычетов.
§3. Целочисленные полиномы. Функциональные сравнения. Делимость по модулю р.
§4. Сравнения первой степени.
Глава II. Абелевы группы.
§5. Общее понятие о группе. Операции над элементами группы.
§6. Подгруппы. Разложение группы на смежные классы по данной подгруппе.
§7. Абелевы группы. Произведение двух абелевых групп.
§8. Базис абелевой группы.
§9. Композиция смежных классов. Факторгруппы.
§10. Характеры абелевых групп.
§11. Бесконечные абелевы группы.
Глава III. Абелевы группы в теории целых рациональных чисел.
§12. Группы целых чисел по сложению и по умножению.
§13. Структура группы R (n) классов по модулю n, взаимно простых с n.
§14. Степенные вычеты.
§15. Характеры вычетов по модулю.
§16. Квадратичные характеры по модулю n.
Глава IV. Алгебра числовых полей.
§17. Числовое поле. Полиномы в числовых полях. Непроводимость.
§18. Алгебраические числа относительно поля k.
§19. Алгебраические числовые поля над k.
§20. Производящие числа поля. Фундаментальные системы. Подполя поля К(ð).
Глава V. Общая арифметика алгебраических числовых полей.
§21. Определение целых алгебраических чисел. Делимость. Единицы.
§22. Целые числа поля как абелева группа. Базис и дискриминант поля.
§23. Разложение целых чисел поля K(/-5) на множители. Наибольшие общие делители, не принадлежащие полю.
§24. Определение и основные свойства идеалов.
§25. Основная теорема теории идеалов.
§26. Первые применения основной теоремы.
§27. Сравнения и классы вычетов по идеалам. Группа классов
вычетов по сложению и умножению.
§28. Полиномы с целыми алгебраическими коэффициентами.
§29. Первый тип законов разложения для рациональных простых чисел: разложение в квадратичных числовых полях.
§30. Второй тип законов разложения для рациональных простых чисел: разложение в поле К (é 2пi/m ).
§31. Дробные идеалы.
§82. Теоремы Минковского о линейных формах.
§33. Классы идеалов и группы классов. Идеальные числа.
§34. Единицы. Верхняя граница для числа основных единиц.
§35. Теорема Дирихле о точном числе основных единиц.
§36. Диференты и дискриминанты.
§37. Относительные поля. Связь между идеалами в различных полях.
§38. Относительные нормы чисел и идеалов. Относительные диференты и относительные дискриминанты.
§39. Законы разложения в относительных полях
Глава VI. Введение трансцендентных методов в исследование арифметики числовых полей.
§40. Плотность идеалов в классе.
§41. Плотность идеалов и число классов.
§42. Дзета-функция Дедекинда.
§43. Распределение простых идеалов первой степени, в частности, рациональных простых чисел в арифметических прогрессиях.
Глава VII. Квадратичное числовое поле.
§44. Сводка полученных результатов. Система классов идеалов.
§45. Понятие эквивалентности в узком смысле. Структура группы классов.
§46. Квадратичный закон взаимности. Новая формулировка законов разложения в квадратичных полях.
§47. Группа норменных вычетов.
§48. Группа норм идеалов и группа родов. Определение числа родов.
§49. Дзета-функция ноля k(/d) и существование простых чисел с заданными квадратичными характерами.
§50. Определение числа классов поля k(/d) без помощи дзета-функции.
§51. Определение числа классов с помощью дзета-функции.
§52. Суммы Гаусса и окончательные формулы для числа классов.
§53. Связь между идеалами поля k(/d) и бинарными квадратичными формами.
Глава VIII. Квадратичный закон взаимности в произвольных числовых полях.
§54. Квадратичные характеры и суммы Гаусса в произвольных числовых полях.
§55. Тэта-функции и их ряды Фурье.
§66. Взаимность между суммами Гаусса во вполне вещественных полях.
§57. Взаимность между суммами Гаусса в произвольных алгебраических числовых полях.
§58. Определение знака сумм Гаусса в рациональном числовом поле.
§59. Квадратичный закон взаимности и первая часть дополнительной теоремы.
§60. Относительно квадратичные поля и их применение к теории квадратичных вычетов.
§61. Группы чисел и группы идеалов. Сингулярные примарные числа.
§62. Существование сингулярных примарных чисел и дополнительные теоремы к закону взаимности.
§63. Одно свойство диференты поля. Гильбертово поле классов относительной степени 2.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Лекции по теории алгебраических чисел, Гекке Э., 1940 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск




Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Гекке