Дифференциальная геометрия, Выгодский М.Я., 1949

Дифференциальная геометрия, Выгодский М.Я., 1949.
   
  В этой книге читатель найдет материал, в основном совпадающий с материалом других руководств по дифференциальной геометрии и отвечающий программам университетов и педагогических институтов. Но по методу изложения эта книга существенно отличается от упомянутых руководств.
Обычно дифференциальная геометрия излагается аналитически; это значит, что исследуемые геометрические объекты относятся к некоторой системе координат, в результате чего решение геометрического вопроса сводятся к исследованию уравнений, связывающих координаты. Плодотворность этого метода общеизвестна. Однако он имеет и свою оборотную сторону. Именно, в течение всего процесса исследования геометрические объекты и, что важнее всего, их внутренние связи оттесняются на задний план и остаются в тени. Вследствие этого утрачивается наглядность, а вместе с тем и психологическая убедительность.




О линиях.
Первоначальное понятие о точке, линии и поверхности мы приобретаем из повседневного опыта, и в основу всякого определения этих геометрических объектов должны быть положены некоторые свойства тех материальных объектов, которые порождают наши геометрические представления.

Одно из таких свойств состоит в том, что линия является границей поверхности; другое —в том, что линия является следом движущейся точки. Каждое из них можно положить в основу определения понятия линии. Для дифференциальной геометрии второе свойство является более важным. Точно так же поверхность предпочтительно рассматривать, как след движущейся линии (последняя при движении может менять свою форму).

Этим наглядным пояснениям можно придать форму точных математических определений, но ввиду ряда трудностей мы не будем этого делать. Заметим только следующее.

Точка, движущаяся вдоль линии, непрерывно меняет свое положение с течением времени; время же, протекшее от некоторого начального момента, можно охарактеризовать заданием одного числа (например, числа секунд). Иными словами, положение точки на линии определяется одной непрерывно меняющейся величиной и (одним параметром). Нет необходимости в качестве параметра рассматривать именно время; можно, например, взять расстояние движущейся точки от неподвижной. Однако во многих случаях привлечение времени в качестве величины, определяющей положение точки на линии, придает геометрической картине большую наглядность.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
ВВЕДЕНИЕ.
§1. Предмет дифференциальной геометрии.
§2. О линиях.
§3. Порядок малости. Эквивалентность.
§4. Эквивалентные соотношения в треугольнике.
§5. Пределы геометрических образов.
ГЛАВА I КАСАТЕЛЬНАЯ И ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ ЛИНИИ.
§6. Аналитическое представление кривой линии.
§7. Касательная.
§8. Уравнения касательной.
§9. Касательные и нормали плоских кривых.
§10. Подкасательная и поднормаль.
§11. Трактриса.
§12. Касательная к линии, заданной полярным свойством.
§13. Полярные подкасательная и поднормаль.
§14. Об определении касательной.
§15. Длина дуги.
§16. Определение понятия «длина дуги».
§17. Цепная линия.
§18. Длина дуги как параметр.
ГЛАВА II СОПУТСТВУЮЩИЙ ТРИЕДР, КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ.
§19. Три леммы.
§20. Соприкасающаяся плоскость.
§21. Сопутствующий триедр.
§22. Кривизна.
§23. Формулы для вычисления кривизны. Аналитический вывод теорем.
§24. Кривизна плоской кривой.
§25. Расстояние от точки кривой до бесконечно близкой касательной.
§26. Четыре леммы.
§27. Эвольвента и эволюта плоской кривой.
§28. Кручение.
ГЛАВА III ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ.
§29. Формулы Френе.
§30. Каноническое представление кривой.
§31. Оценка некоторых геометрических величин.
ГЛАВА IV НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКИХ ФИГУР.
§32. Сферические индикатрисы.
§33. Площади сферических фигур. Теорема Якоби.
§34. Сферические эвольвенты и эволюты.
ГЛАВА V НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§35. Натуральные уравнения плоской кривой.
§36. Натуральные уравнения пространственной кривой.
§37. Натуральное уравнение класса линий.
ГЛАВА VI КРИВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ И ЕЕ КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
§38. О поверхностях.
§39. Аналитическое представление поверхности.
§40. Касательная плоскость и нормаль.
§41. О требованиях, накладываемых на функцию r (u, v).
§42. Другое определение касательной плоскости.
ГЛАВА VII ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА И ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
§43. Линейный элемент и первая квадратичная форма.
§44. Направления на поверхности и углы между ними.
§45. Площадь кривой поверхности.
§46. Об изгибании поверхностей.
§47. Внутренняя геометрия поверхности.
ГЛАВА VIII РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ. ЭВОЛЮТЫ.
§48. Поверхности касательных.
§49. Доказательство теорем 1 и 4 §48.
§50. Линейчатые поверхности.
§51. Доказательство теоремы 2 §48.
§52. Огибающая однопараметрического семейства плоскостей.
§53. Полярная поверхность.
§54. Соприкасающаяся сфера.
§55. Спрямляющая плоскость и геодезическая линия.
§56. Эволюты и эвольвенты пространственных кривых.
ГЛАВА IX ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА И КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ.
§57. Расстояние от точки поверхности до касательной плоскости и вторая квадратичная форма.
§58. Соприкасающийся параболоид. Три типа точек поверхности.
§59. Индикатриса Дюпена. Кривизна нормальных сечений.
§60. Главные направления. Формула Эйлера.
§61. О предпосылках эйлерова закона распределения кривизн.
§62. Аналитическое разыскание главных направлений.
§63. Аналитическое разыскание главных кривизн.
§64. Сопряженные направления.
§65. Линии кривизны.
§66. Аналитическое разыскание линий кривизны.
§67. Аналитический вывод уравнения линий кривизны.
§68. Сферическое изображение поверхности.
§69. Асимптотические линии.
§70. Новая интерпретация второй квадратичной формы.
§71. Третья квадратичная форма.
ГЛАВА X ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ.
§72. Формула и теорема Менье.
§73. Геодезические линии.
§74. Геодезическая кривизна.
§75. Изгибание полосы. Геодезические окружности Дарбу.
§76. Геодезический поворот и параллельное перенесение.
§77. Теоремы Гаусса и Бонне.
§78 Основные формулы теории поверхностей.
§79 Уравнение Гаусса.
§80. Уравнения Петерсона-Майнарди.
§81. Формула для геодезической кривизны.
§82. Аналитическое доказательство теоремы Гаусса-Бонне.
§83. Уравнение геодезической линии.
§84. Геодезические параллели.
§85. Поверхности постоянной гауссовой крививны. Движения поверхности по самой себе.
§86. Сети Чебышева.
Заключительное слово автора.
Приложение. Основные сведения по векторному анализу.
Алфавитный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Дифференциальная геометрия, Выгодский М.Я., 1949 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Выгодский