Алгебра и начала анализа, 9 класс, Колмогоров А.Н., 1975

Алгебра и начала анализа, 9 класс, Колмогоров А.Н., 1975.

Фрагмент из книги:
Часто приходится составлять из конечного числа элементов различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных комбинаций, составленных по некоторому правилу. Такие задачи получили название комбинаторных, а раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой. В комбинаторике имеют дело только с конечными множествами. Этот раздел математики имеет большое значение в теории вероятностей, теории управляющих систем и вычислительных машин и во многих других разделах науки и техники. В этой главе вы познакомитесь с некоторыми простейшими комбинаторными задачами.




Некоторые свойства множества действительных чисел.
Если бы математика ограничилась лишь рациональными числами, она во многих отношениях была бы беднее содержанием (не существовало бы «точного» корня квадратного из двух, не каждая точка координатной прямой имела бы координату и т. д.). Но с чисто практической точки зрения, как уже отмечалось, изменение не столь велико. На практике можно было бы обойтись даже не всеми рациональными числами, а лишь теми, которые представимы конечными десятичными дробями.

В этом по существу и заключается свойство плотности подмножества рациональных чисел в множестве всех действительных чисел. Геометрически это свойство означает, что на любом отрезке координатной прямой лежит хотя бы одна рациональная точка (а значит, и бесконечное множество рациональных точек).

Отвлекаясь от реальных возможностей, можно сказать, что если в каждой рациональной точке зажечь по фонарику, то на прямой не окажется никакого темного промежутка, вся прямая будет светиться. Тем не менее на ней будет спрятано очень много иррациональных точек. В некотором смысле их даже «больше», чем рациональных.

Содержание.
Глава I. ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
§1. Принцип математической индукции и его применение.
1. Понятия полной и неполной индукций.
2. Принцип математической индукции.
3. Обобщение принципа математической индукции.
Дополнительные упражнения к главе I.
Глава II. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.
§2. Упорядоченные множества
4. Перестановки. Число перестановок.
5. Упорядоченные множества и размещения.
§3. Сочетания.
6. Число подмножеств конечного множества.
7. Некоторые свойства числа сочетаний.
8. Рекуррентная формула для вычисления числа сочетаний.
§4. Натуральная степень бинома (формула Ньютона).
9. Формула Ньютона. Основные следствия.
10. Сведения из истории. Применение комбинаторики к теории вероятностей.
11. Примеры более сложных задач из теории вероятностей.
Дополнительные упражнения к главе II.
Глава III. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА, БЕСКОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ.
§5. Действительные числа
12. Вводные замечания.
13. Периодические десятичные дроби.
14. Действительные числа.
15. Десятичные приближения к действительному числу по недостатку и по избытку и арифметические действия с действительными числами.
16. Изображение чисел точками координатной прямой.
17. Числовая прямая и числовая плоскость.
18. Некоторые свойства множества действительных чисел.
§6. Бесконечные числовые последовательности. Предел последовательности.
19. Бесконечные числовые последовательности.
20. Геометрическое изображение последовательности и наглядные представления о пределе последовательности.
21. Определение предела последовательности.
22. Единственность предела. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
23. lim qn, если | q | < 1.
24. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1.
25. Понятие числового ряда.
§7. Существование пределов и их вычисление
26. Необходимое условие сходимости.
27. Теоремы о пределах.
28. Бесконечно малые последовательности.
29. Примеры вычисления пределов.
30. Сравнение роста арифметической и геометрической прогрессий.
31. Монотонные последовательности.
32. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности.
33. Число п и длина окружности.
Дополнительные упражнения к главе III.
Глава IV. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНАЯ.
§8. Первоначальные представления о производной и пределе функции.
34. Числовые функции.
35. Изменение функции, ее возрастание и убывание.
36. Приращение функции.
37. Производная как скорость изменения функции.
38. Непрерывные и разрывные функции. Предел функции.
39. Теорема о единственности предела.
40. Теоремы о пределах.
41. Непрерывность рациональных функций.
§9. Производная.
42. Определение производной.
43. Примеры вычисления производных.
44. Производная суммы функций.
45. Производная произведения функций.
46. Производная многочлена.
47. Производная частного.
48. Производная дробно-рациональной функции.
49. Сложная функция.
50. Производная сложной функции.
Дополнительные упражнения к главе IV.
Глава V. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ.
§10. Применение производной к приближенным вычислениям, геометрии и физике.
51. Главная часть приращения функции.
52. Касательная к графику функции.
53. Скорость и ускорение.
§11. Применение производной к исследованию функций.
54. Возрастание и убывание функции.
55. Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.
56. Исследование квадратичной функции.
57. Решение квадратичных неравенств.
58. Общая схема исследования функций.
59. Наибольшие и наименьшие значения функций.
60. Сведения из истории.
Дополнительные упражнения к главе V.
Глава VI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, ИХ ГРАФИКИ И ПРОИЗВОДНЫЕ.
§12. Тригонометрические функции числового аргумента.
61. Радианное измерение угловых величин.
62. Длина дуги и площадь сектора.
63. Синус и косинус числового аргумента.
64. Графики синуса и косинуса.
65. Тангенс и котангенс числового аргумента.
66. Таблицы значений тригонометрических функций числового аргумента.
§13. Основные свойства тригонометрических функций.
67. Знаки значений тригонометрических функций.
68. Четные и нечетные тригонометрические функции.
69. Периодичность тригонометрических функций.
§14. Формулы сложения и следствия из них.
70. Координаты вектора.
71. Косинус и синус суммы.
72. Тангенс суммы.
73. Тригонометрические функции двойного аргумента.
74. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.
Дополнительные упражнения к главе VI.
Ответы и указания к упражнениям.
Обозначениям встречающиеся в учебном пособии.

Купить .





Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Колмогоров :: 9 класс