Курс дифференциальной геометрии и топологии, Мищенко А.С., Фоменко А.Т., 1980

Курс дифференциальной геометрии и топологии, Мищенко А.С., Фоменко А.Т., 1980.

   Учебник написан на основе курса дифференциальной геометрии и топологии, читаемого на механико-математическом (факультете МГУ для студентов второго курса. Содержит основной программный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теории гладких многообразий, теории кривых и поверхностен, группам преобразовании, тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям, фундаментальным группам поверхностей, вариационным принципам в римановой геометрии. Практически весь материал излагается в учебнике впервые.




Декартовы и криволинейные координаты.
Рассмотрим произвольную область в евклидовом пространстве Rn. Напомним, что, как и в курсе анализа, мы называем областью произвольное множество С в евклидовом пространстве, каждая точка В которого .входит в это множество вместе с некоторым шаром достаточно малого радиуса, .имеющим точку Р своим центром. Рассмотрим второй экземпляр евклидова пространства, который обозначим через R1. Задать координаты точки Р в области С — это означает сопоставить этой точке набор чисел, которые и можно будет назвать координатами. Ясно, что задавая это соответствие произвольно (т. е. без каких-либо дополнительных требований), мы ничего хорошего не получим в том смысле, что это соответствие может оказаться бессодержательным (хотелось бы, чтобы введенные понятия приносили некоторую пользу, например вычислительную, как это и произошло с декартовыми координатами в истории развития науки). Пример такого бессодержательного соответствия: сопоставить каждой точке Р области С один и тот же набор чисел, скажем (0, 0, 0,..., 0). Таким образом,

вырисовывается первое требование, которому должно удовлетворять наше соответствие: хотелось бы, чтобы различным точкам области отвечали бы и различные наборы чисел (координат). Приведенный выше пример этому требованию не удовлетворяет (все точки области С имеют одни и те же «координаты» — нулевые).

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию.
§1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры.
1. Мотивировка.
2. Декартовы и криволинейные координаты.
3. Простейшие примеры криволинейных систем координат.
§2. Длина кривой в криволинейной системе координат.
1.Длина кривой в евклидовой системе координат.
2. Длина кривой в криволинейной системе координат.
3. Понятие римановой метрики в области евклидова пространства.
4. Индефинитные метрики.
§3. Геометрия на сфере, плоскости.
§4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского.
Глава 2. Общая топология.
§1. Определении и простейшие свойства метрических и топологических пространств.
1. Метрические пространства.
2. Топологические пространства.
3. Непрерывные отображения.
§2. Связность. Аксиомы отделимости.
1. Связность.
2. Аксиомы отделимости.
§3. Компактные пространства.
1. Определение.
2. Свойства компактных пространств.
3. Метрические компактные пространства.
4. Операции над компактными пространствами.
§4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы.
1. Функциональная отделимость.
2. Разбиение единицы.
Глава 3. Гладкие многообразия (общая теория).
Введение.
§1. Понятие многообразия.
1. Основные определения.
2. Функции замены координат. Определение гладкого многообразия.
3. Гладкие отображения. Диффеоморфизм.
§2. Задание многообразий уравнениями.
§3. Касательные векторы. Касательное, пространство.
1. Простейшие примеры.
2. Общее определение касательного вектора.
3. Касательное пространство Трv(М).
4. Пучок соприкасающихся кривых.
5. Производная функции но направлению.
6. Касательное расслоение.
§4. Подмногообразия.
1. Дифференциал гладкого отображении.
2. Локальные свойства отображений и дифференциал.
3. Теорема Сарда.
4. Вложение многообразии и евклидово пространство.
Глава 4. Гладкие многообразия (примеры).
§1. Теория кривых на плоскости и в трехмерном пространстве.
1. Теория кривых на плоскости. Формулы Френо.
2. Теория пространственных кривых. Формулы Френо.
§2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы.
1. Первая квадратичная форма.
2. Вторая квадратичная форма.
3. Элементарная теория гладких кривых на гиперповерхности.
4. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей.
§3. Группы преобразовании.
1. Простейшие примеры групп преобразовании.
2. Матричные группы преобразований.
§4. Динамические системы.
§5. Классификация двумерных поверхностей.
1. Многообразия с краем.
2. Ориентируемые многообразия.
§6. Римановы поверхности алгебраических функций.
Глава 5. Тензорный анализ и риманова геометрия.
§1. Общее понятие тензорного поля па многообразии.
§2. Простейшие примеры тензорных нолей.
1. Примеры.
2. Алгебраические, операции над тензорами.
3. Кососимметрические тензоры.
§3. Связность и ковариантное дифференцирование.
1. Определение и свойства аффинной связности.
2. Римановы связности.
§4. Параллельный перенос. Геодезические.
1. Предварительные замечания.
2. Уравнение параллельного переноса.
3. Геодезические.
§5. Тензор кривизны.
1. Предварительные замечании
2. Координатное определение тензора кривизны.
3. Инвариантное определение тензора кривизны.
4. Алгебраические свойства тензора кривизны Римана.
5. Некоторые приложения тензора кривизны Римана.
Глава 6. Теория гомологии.
§1. Исчисление внешних дифференциальных форм. Когомологии
1. Дифференцирование внешних дифференциальных форм.
2. Когомологии гладкого многообразии (когомологии де Рама).
3. Гомотопические свойства групп когомологии.
§2. Интегрирование внешних форм.
1. Интеграл дифференциальной формы по многообразию.
2. Формула Стокса.
§3. Степень отображения и ее приложения.
1. Пример.
2. Степень отображения.
3. Основная теорема алгебры.
4. Интегрирование форм.
5. Гауссово отображение гиперповерхности.
Глава 7. Простейшие вариационные задачи римановой геометрии.
§1. Понятие функционала. Экстремальные функции. Уравнения Эйлера.
§2. Экстремальность геодезических.
§3. Минимальные поверхности.
§4. Вариационное исчисление и симплектическая геометрия.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс дифференциальной геометрии и топологии, Мищенко А.С., Фоменко А.Т., 1980 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Мищенко :: Фоменко