Сборник задач и упражнений по теории устойчивости, Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В., 2016

Сборник задач и упражнений по теории устойчивости, Александров А.Ю., Александрова Е.Б., Екимов А.В., Смирнов Н.В., 2016.

   Настоящее пособие содержит задачи и упражнения по курсу теории устойчивости в соответствии с учебным планом факультета прикладной математики — процессов управления СПбГУ. Помимо классических тем в него впервые включены теоретические материалы и задачи по современным разделам теории устойчивости, таким как устойчивость систем с неопределенными параметрами, устойчивость интервальных полиномов, устойчивость по первому, в широком смысле, приближении. В начале каждого параграфа излагаются необходимые теоретические сведения, методы и алгоритмы, которые иллюстрируются подробно разобранными примерами.
Сборник содержит упражнения для самостоятельной работы с указанием ответов и задачи повышенной трудности. Таким образом, представленный материал позволяет не только вырабатывать практические навыки, но и формировать творческий подход к решению проблемы анализа устойчивости систем дифференциальных уравнений. Большинство задач и упражнений составлено авторами.
Книга предназначена для студентов вузов, обучающихся по направлениям «Прикладные математика и физика», «Прикладная математика и информатика», а также другим математическим и естественнонаучным направлениям и специальностям в области техники и технологий. Она может быть полезна научным работникам, специализирующимся в области теории устойчивости, качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления.




Примеры.
Доказать, что если система (1.1) имеет нулевое решение и ее правые части не зависят от t, то устойчивость (асимптотическая устойчивость) нулевого решения всегда равномерна.

Доказать, что если система (1.1) имеет нулевое решение и функция f (t. х) периодична по t, то устойчивость (асимптотическая устойчивость) нулевого решения всегда равномерна.

Доказать, что если матрица А постоянна и имеет по крайней мере одно собственное число с положительной вещественной частью, то для системы (9.1) существует функция Ляпунова в виде квадратичной формы, удовлетворяющая требованиям второй теоремы Ляпунова о неустойчивости.

Пусть А — постоянная матрица, имеющая по крайней мере одно собственное число с положительной вещественной частью. Доказать, что если у матрицы А нет собственных чисел с нулевой вещественной частью, то для системы (9.1) существует функция Ляпунова в виде квадратичной формы, удовлетворяющая требованиям первой теоремы Ляпунова о неустойчивости.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава 1. Первый метод Ляпунова.
§1. Основные понятия и определения.
§2. Устойчивость линейных систем.
§3. Корневые критерии устойчивости линейных стационарных систем.
§4. Критерий Михайлова. Устойчивость линейных систем с неопределенными параметрами.
§5. Устойчивость по линейному приближению.
§6. Признаки устойчивости линейных систем с переменными коэффициентами.
Глава 2. Второй метод Ляпунова.
§7. Функции Ляпунова.
§8. Основные теоремы второго метода Ляпунова.
§9. Экспоненциальная устойчивость.
§10. Устойчивость по нелинейному приближению.
Глава 3. Устойчивость автономных систем.
§11. Основные свойства автономных систем. Положения равновесия.
§12. Предельные циклы автономных систем на плоскости.
§13. Область асимптотической устойчивости.
Ответы к упражнениям.
Литература.

Купить .





Теги: задачник по математике :: математика :: Александров :: Александрова :: Екимов :: Смирнов