Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, Холево А.С., 2020

Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, Холево А.С., 2020.

   Книга посвящена основаниям квантовой механики и тем ее вопросам, в которых существенную роль играют вероятностные и статистические представления. За последние годы в этой области был достигнут прогресс, во многом стимулированный новыми приложениями квантовой теории в информатике.
В книге в доступной и математически строгой форме обсуждаются вопросы вероятностной интерпретации, квантово-механические симметрии, проблема соответствия между классическими и квантовыми наблюдаемыми (наблюдаемые «время», «фаза», «угол»), теория канонических коммутационных соотношений и гауссовских состояний, нестандартные соотношения неопределенностей («время-энергия», «фаза—число квантов», «угол—угловой момент»), квантовые неравенства Рао—Крамера и другие принципиальные границы точности квантового измерения.
По сравнению с предыдущим изданием в книге имеется Дополнение, посвященное проблеме скрытых параметров.
Книга предназначена для математиков и физиков (студентов-старшекурсников, аспирантов, научных работников), интересующихся основаниями квантовой теории, ее связями с теорией вероятностей и математической статистикой, вопросами квантового измерения, квантовой метрологии.




Состояния и измерения.
В основе теоретической модели реального явления или объекта лежат в конечном счете данные опыта; совокупность всевозможных экспериментов вместе с полным описанием их результатов образует «остов» всякой теоретической модели. Рассмотрим схематизированное описание произвольного эксперимента и проследим, как отсюда возникают основные элементы теоретической модели.

Во всяком эксперименте можно выделить две основные стадии. В первой стадии — стадии приготовления — фиксируется определенная экспериментальная ситуация, т. е. устанавливаются исходные условия, задаются «входные данные» эксперимента. В следующей стадии измерения определенным образом «приготовленный» объект воздействует на тот или иной измерительный прибор, результатом чего в каждом индивидуальном эксперименте являются те или иные «выходные данные» (рис.1). Важнейшим условием, которому должен удовлетворять всякий научный эксперимент, является условие воспроизводимости, т. е. возможности неограниченного повторения данного измерения в данной экспериментальной ситуации. Рассмотрим последовательность одинаковых и независимых повторений некоторого эксперимента. Результаты подобных индивидуальных экспериментов, как правило, не будут строго одинаковы. Практически всегда получаемые результаты подвержены случайному разбросу, амплитуда которого варьируется в зависимости от характера эксперимента и природы исследуемого объекта. Наличие ошибок измерения является объективным фактом, мимо которого не может пройти ни одна разумная теория эксперимента.

Оглавление.
Предисловие.
Введение.
Глава I. Общее понятие статистической модели.
§1. Состояния и измерения.
§2. Некоторые геометрические понятия.
§3. Определение статистической модели.
§4. Классическая статистическая модель.
§5. Редукция статистической модели. Классическая модель с ограничениями на множество измерений.
§6. Статистическая модель квантовой механики.
§7. Замечания к проблеме скрытых переменных.
Комментарии.
Глава II. Математический аппарат квантовой теории.
§1. Операторы в гильбертовом пространстве.
§2. Состояния и измерения в квантовой теории.
§3. Спектральное разложение ограниченных операторов.
§4. Спектральное разложение неограниченных операторов.
§5. О реализации измерения.
§6. Соотношения неопределенностей и совместная измеримость.
§7. Ядерные операторы и операторы Гильберта—Шмидта.
§8. Пространства Y2, ассоциированные с квантовым состоянием.
§9. Соотношения неопределенностей для измерений с конечным вторым моментом.
§10. Матричное представление квадратично суммируемых операторов. Коммутационный оператор состояния.
Комментарии.
Глава III. Симметрии в квантовой механике.
§1. Статистическая модель и принцип относительности.
§2. Однопараметрические группы сдвигов и соотношения неопределенностей.
§3. Кинематика квантовой частицы с одной степенью свободы.
§4. Теорема единственности. Представление Шрёдингера и импульсное представление.
§5. Состояния минимальной неопределенности. Соотношения полноты и ортогональности.
§6. Совместные измерения координаты и скорости.
§7. Динамика квантовой частицы с одной степенью свободы.
§8. Наблюдаемая времени. Соотношение неопределенностей «время—энергия».
§9. Квантовый осциллятор и измерение фазы.
§10. Представление по когерентным состояниям.
§11. Представления группы вращений и угловые моменты.
§12. Измерение угла поворота.
Комментарии.
Глава IV. Ковариантные измерения и оптимальность.
§1. Параметрические группы симметрий и ковариантные измерения.
§2. Структура ковариантного измерения.
§3. Измерение параметров в ковариантном семействе состояний.
§4. Измерения угловых параметров.
§5. Соотношения неопределенностей для угловых величин.
§6. Ковариантные измерения углового параметра в случае произвольного представления группы Т.
§7. Ковариантные измерения параметра сдвига.
§8. Случай неприводимого представления.
§9. Оценивание чистого состояния.
§10. Измерение параметров ориентации.
Комментарии.
Глава V. Гауссовские состояния.
§1. Квазиклассические состояния квантового осциллятора.
§2. Каноническое коммутационное соотношение для многих степеней свободы.
§3. Доказательство теоремы единственности Стоуна—фон Неймана. Преобразование Вейля.
§4. Характеристическая функция и моменты состояния.
§5. Структура общего гауссовского состояния.
§6. Характеристическое свойство гауссовских состояний.
Комментарии.
Глава VI. Несмещенные измерения.
§1. Квантовый канал связи.
§2. Нижняя граница для дисперсии измерения одномерного параметра.
§3. Случай параметра сдвига.
§4. Измерение силы, действующей на пробный объект.
§5. Граница для матрицы ковариации измерения многомерного параметра, основанная на симметричных логарифмических производных.
§6. Граница, основанная на правой логарифмической производной.
§7. Общая граница для среднеквадратичного отклонения.
§8. Линейные измерения.
§9. Измерение параметров среднего значения гауссовского состояния.
Комментарии.
Дополнение.
Статистическая структура квантовой теории и скрытые параметры.
§1. Введение.
§2. Структура статистических теорий.
§3. Проблема скрытых параметров.
Библиография.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Холево :: квантовая теория