Теория вероятностей и математическая статистика, Математические модели, Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т., 2009

Теория вероятностей и математическая статистика, Математические модели, Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терехин А.Т., 2009.

   В учебном пособии изложены преимущественно вопросы анализа биологических данных и в качестве основы использованы методы теории вероятностей и математической статистики; представлено моделирование динамики биологических процессов, основанное на применении математического аппарата дифференциальных уравнений.
Для студентов биологических специальностей высших учебных заведений.




ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Задача теории вероятностей состоит в построении и анализе вероятностных математических моделей реальных явлений, учитывающих недетерминированные, случайные аспекты этих явлений.

В биологии ввиду сложности изучаемых ею объектов и процессов особенно часто приходится пользоваться вероятностными моделями. Например, уже в такой простой задаче, как сравнение размеров самцов и самок некоторого вида животных, мы встречаемся с той трудностью, что отдельные особи, как самцы, так и самки, имеют разные размеры, причем некоторые самки крупнее некоторых самцов, а некоторые самцы мельче некоторых самок.

Выход состоит в рассмотрении данной ситуации с вероятностной точки зрения, согласно которой размеры отдельных особей представляют собой случайно выбранные значения из двух потенциально бесконечных множеств (генеральных совокупностей) самцов и самок данного вида.

Содержание.
Предисловие.
Введение.
Часть I. Статистический анализ биологических данных.
Глава 1. Основы теории вероятностей.
1.1. Случайные события и их вероятности.
1.1.1. Пространство элементарных событий.
1.1.2. Операции над событиями.
1.1.3. Вероятности событий.
1.1.4. Модель равновероятных элементарных событий.
1.1.5. Геометрическая модель.
1.1.6. Условная вероятность и независимость.
1.1.7. Формула полной вероятности и формула Байеса.
1.1.8. Формула Бернулли.
1.2. Случайные величины и их распределения.
1.2.1. Функция распределения случайной величины.
1.2.2. Дискретные случайные величины.
1.2.3. Непрерывные случайные величины.
1.2.4. Нормальное и связанные с ним распределения.
1.2.5. Характеристики распределений.
1.3. Многомерные случайные величины.
1.3.1. Дискретные многомерные случайные величины.
1.3.2. Непрерывные многомерные случайные величины.
Глава 2. Основы математической статистики.
2.1. Случайная выборка и ее описание.
2.2. Статистическое оценивание.
2.2.1 Точечное статистическое оценивание.
2.2.2. Интервальное статистическое оценивание.
2.3. Статистическая проверка гипотез.
2.3.1. Логика проверки статистических гипотез.
2.3.2. Поверка гипотез о математических ожиданиях.
2.3.3. Проверка гипотез о дисперсиях.
2.3.4. Сравнение параметров двух биномиальных распределений.
2.3.5. Сравнение параметров двух пуассоновских распределений.
2.3.6. Проверка гипотезы о равенстве заданному числу коэффициента корреляции.
2.3.7. Критерии согласия.
2.3.8. Непараметрические критерии.
Глава 3. Анализ многомерных данных.
3.1. Классификация методов анализа многомерных данных.
3.2. Матричная алгебра.
3.3. Регрессионный анализ.
3.3.1. Множественная линейная регрессия.
3.3.2. Множественный и частный коэффициенты корреляции.
3.3.3. Пошаговая регрессия.
3.3.4. Нелинейная регрессия.
3.3.5. Логистическая регрессия.
3.4. Дисперсионный анализ.
3.4.1. Однофакторный дисперсионный анализ.
3.4.2. Двухфакторный дисперсионный анализ.
3.4.3. Смешанные модели дисперсионного анализа.
3.4.4. Непараметрические методы анализа связи между количественной и качественными переменными.
3.5. Кластерный анализ.
3.6. Факторный анализ.
3.7. Дискриминантный анализ.
Часть II Моделирование динамики биологических процессов.
Глава 4. Модели, описываемые одним уравнением.
4.1. Основные понятия.
4.2. Исследование уравнения в окрестности стационарною состояния.
4.2.1. Исследование устойчивости стационарного состояния методом линеаризации.
4.2.2 Модель роста колонии микроорганизмов
4.2.3. Модель перехода вещества в раствор.
4.3. Непрерывные модели популяций.
4.3.1. Уравнение экспоненциального роста.
4.3.2. Ограниченный рост.
4.3.3. Модель популяции с наименьшей критической численностью.
4.4. Дискретные модели популяций.
4.4.1. Модели популяций с неперекрывающимися поколениями.
4.4.2. Диаграмма Ламерея.
4.4.3. Понятия равновесия и его устойчивости для разностных уравнении.
4.4.4. Циклы и динамический хаос.
4.5. Вероятностные модели популяций.
Глава 5. Модели, описываемые системой дифференциальных уравнений.
5.1. Основные понятия.
5.1.1. Фазовая плоскость и фазовый портрет.
5.1.2. Метод изоклин.
5.1.3. Устойчивость стационарного состояния.
5.2. Исследование систем двух линейных уравнений.
5.2.1. Характеристическое уравнение.
5.2.2. Корни λ1, λ2 действительны и одною знака.
5.2.3. Корни λ1, λ2 действительны и разных знаков.
5.9.4. Корни λ1, λ2 комплексные сопряженные.
5.2.5. Бифуркационная диаграмма.
5.3. Системы двух нелинейных дифференциальных уравнений.
5.3.1. Метод Ляпунова линеаризации системы в окрестности стационарного состояния.
5.3.2. Кинетические уравнения Лотки.
5.3.3. Модель Вольтерра.
5.4. Проблема быстрых и медленных переменных.
5.4.1. Иерархия времен. Метод квазистационарных концентраций.
5.4.2. Теорема Тихонова.
5.4.3. Фермент-субстратная реакция Михаэлиса—Ментен.
5.5. Мультистационарность.
5.5.1. Фазовый портрет мультистационарной системы.
5 5.2. Типы переключения триггера.
5.5.3. Отбор одного из равноправных видов.
5.6. Колебания в биологических системах.
5.6.1. Автоколебания и предельные циклы.
5.6.2. Устойчивость предельных циклов.
5.6.3. Брюсселятор.
5.6.4 Колебания в гликолизе.
5.7. Динамический хаос.
5.7.1. Система Лоренца. Детерминированный хаос.
5.7.2. Линейный анализ устойчивости траекторий.
5.7.3. Диссипативные системы.
5.7.4. Динамический хаос в сообществе из трех видов.
Глава 6. Распределенные дифференциальные модели.
6.1. Уравнение реакция—диффузия.
6.1.1. Активные кинетические среды в живых системах.
6.1.2. Уравнение диффузии.
6.1.3. Начальные и граничные (краевые) условия.
6.2. Решение уравнения диффузии.
6.2.1. Общий ход решения.
6.2.2. Решение однородного уравнения.
6.2.3. Зависимость решений от начальных условий.
6.2.4. Решение неоднородного уравнения диффузии с нулевым начальным условием и нулевыми краевыми условиями.
6.2.5. Общая краевая задача.
6.2.6. Устойчивость гомогенных стационарных состояний нелинейных систем.
6.2.7. Распределенная модель популяции с наименьшей критической численностью.
6.3. Система двух уравнений реакция — диффузия.
6.3.1. Устойчивость однородных стационарных решений.
6.3.2. Распределенный брюсселятор.
6.3.3. Локализованные диссипативные структуры.
6.4. Распространение фронтов, импульсов и волн.
6.4.1. Распространение волны в системах с диффузией.
6.4.2. Задача распространения нервного импульса.
Список литературы.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Мятлев :: Панченко :: Ризниченко :: Терехин