Геометрические методы математической физики, Шутц Б., 1984

Геометрические методы математической физики, Шутц Б., 1984.

  Написанное английским математиком введение в геометрические методы математической физики. Содержит основные сведения по дифференциальной геометрии вплоть до понятий римановой геометрии и общей теории связностей, а также некоторые физические приложения, — в частности, из общей теории относительности и теории калибровочных полей.
Для математиков и физиков, желающих ознакомиться с приложениями геометрии в математической физике.




ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЁМА: ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РОЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ.
До сих пор мы избегали «придавать» нашим многообразиям какую-либо форму или жёсткость. Мы отмстили, правда, возможность введения метрических тензоров, но всё наше внимание было сосредоточено на аналитических структурах, которые можно было определять, не прибегая к метрике. Теперь мы обратимся к изучению одного чрезвычайно полезного класса тензоров, а именно тензоров, с помощью которых можно определять элементы объёма на многообразиях.

Рассмотрим объём в двумерном случае, называемый в этом случае площадью. Любая пара (бесконечно малых) векторов в эвклидовом пространстве определяет некоторую (бесконечно малую) площадь, а именно площадь, ограниченную параллелограммом, построенным на этих векторах (рис. 4.1). Одна и та же площадь задаётся многими различными парами векторов, которые могут отличаться друг от друга как длиной векторов, так и величиной угла между ними (рис. 4.2). Отсюда видно, что площадь — понятие менее жёсткое, чем метрика, ибо эвклидова метрика однозначно определяет и длины векторов, и величину угла, заключённого между ними, а площадь даёт всего лишь одно число, отвечающее двум заданным векторам. Естественно, если метрика есть, то она однозначно определяет и площадь; позже мы покажем, как это происходит. Но для определения площади на двумерном многообразии (либо объёма на произвольном многообразии) вовсе не обязательно определять метрику на этом многообразии. В самом деле, многие различные метрики могут определять один и тот же объём.

Оглавление.
От редактора перевода.
Предисловие.
1. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ.
1.1. Пространство Rn и его топология.
1.2. Отображения.
1.3. Вещественный анализ (вещественные функции вещественных переменных).
1.4. Теория групп.
1.5. Линейная алгебра.
1.6. Алгебра квадратных матриц.
1.7. Библиография.
2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ И ТЕНЗОРЫ.
2.1. Определение многообразия.
2.2. Сфера как многообразие.
2.3. Другие примеры многообразий.
2.4. О свойствах многообразий “в целом".
2.5. Кривые.
2.6. Функции на М.
2.7. Векторы и векторные поля.
2.8. Базисные векторы и базисные векторные поля.
2.9. Расслоенные пространства.
2.10. Примеры расслоенных пространств.
2.11. Более глубокий взгляд на расслоенные пространства.
2.12. Векторные поля и интегральные кривые.
2.13. Экспонента от оператора d/dл.
2.14. Скобки Ли и некоординатные базисы.
2.15. Когда базис является координатным?.
2.16. Один-формы.
2.17. Примеры один-форм.
2.18. Дельта-функция Дирака.
2.19. Градиент и наглядное изображение один-форм.
2.20. Базисные один-формы и компоненты один-форм.
2.21. Индексные обозначения.
2.22. Тензоры и тензорные поля.
2.23. Примеры тензоров.
2.24. Компоненты тензоров и тензорное произведение.
2.25. Свёртка.
2.26. Замена базиса.
2.27. Тензорные операции над компонентами.
2.28. Функции и скаляры.
2.29. Метрический тензор в векторном пространстве.
2.30. Поле метрического тензора на многообразии.
2.31. Специальная теория относительности.
2.32. Библиография.
3. ПРОИЗВОДНЫЕ ЛИ И ГРУППЫ ЛИ.
3.1. Введение: как векторное поле отображает многообразие в себя.
3.2. Действие переноса Ли на функции.
3.3. Действие переноса Ли на векторные поля.
3.4. Производные Ли.
3.5. Производная Ли один-формы.
3.6. Подмногообразия.
3.7. Теорема Фробениуса на языке векторных полей.
3.8.  Доказательство теоремы Фробениуса.
3.9. Пример: генераторы вращений.
3.10. Инвариантность.
3.11. Векторные поля Киллинга.
3.12. Векторы Киллинга и сохраняющиеся величины в динамике частицы.
3.13. Осевая симметрия.
3.14. Абстрактные группы Ли.
3.15. Примеры групп Ли.
3 16. Алгебры Ли и отвечающие им группы Ли.
3.17. Реализации и представления.
3.18. Сферическая симметрия, сферические гармоники и представления группы вращений.
3.19. Библиография.
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ.
А. Алгебра и интегральное исчисление форм.
4.1. Определение объёма: геометрическая роль дифференциальных форм.
4.2. Обозначения и определения, касающиеся антисимметричных тензоров.
4.3. Дифференциальные формы.
4.4. Обращение с дифференциальными формами.
4.5. Ограничение форм.
4.6. Поля форм.
4.7. Ориентируемость.
4.8. Объёмы и интегрирование на ориентируемых многообразиях.
4.9. N-векторы, дуальные величины и символ Eij...k.
4.10. Тензорные плотности.
4.11. Обобщённые символы Кронекера.
4.12: Определители и Eij...k.
4.13. Метрический элемент объёма.
В. Дифференциальное исчисление форм и его приложения.
4.14. Внешняя производная.
4.15. Обозначения для частных производных.
4.16. Хорошо знакомые примеры внешнего дифференцирования.
4.17. Условия интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных.
4.18. Точные формы.
4.19. Доказательство локальной точности замкнутых форм.
4.20. Производные Ли от форм.
4.21. Производные Ли и внешние производные коммутируют.
4.22. Теорема Стокса.
4.23. Теорема Гаусса и определение дивергенции.
4.24. Краткий экскурс в теорию когомологий.
4.25. Дифференциальные формы и дифференциальные уравнения
4.26. Теорема Фробениуса на языке дифференциальных форм.
4.27. Доказательство эквивалентности двух вариантов теоремы Фробениуса.
4.28. Законы сохранения.
4.29. Векторные сферические гармоники.
4.30. Библиография.
5. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.
A. Термодинамика.
5.1. Простые системы.
5.2. Тождества Максвелла и другие математические тождества.
5.3. Композитные термодинамические системы; теорема Каратеодори.
B. Гамильтонова механика.
5.4. Гамильтоновы векторные поля.
5.5. Канонические преобразования.
5.6. Соответствие между векторами и один-формами, устанавливаемое формой w.
5.7. Скобка Пуассона.
5.8. Многочастичные системы; симплектические формы.
5.9. Линейные динамические системы; симплектическое скалярное произведение и сохраняющиеся величины.
5.10. Уравнения Гамильтона и расслоения.
C. Электромагнетизм.
5.11. Уравнения Максвелла на языке дифференциальных форм.
5.12. Заряд и топология.
5.13. Вектор-потенциал.
5.14. Плоские волны; простой пример.
D. Динамика идеальной жидкости.
5.15. Роль производных Ли.
5.16. Полная производная по времени.
5.17. Уравнение движения.
5.18. Сохранение вихрей.
E. Космология.
5.19. Космологический принцип.
5.20. Алгебра Ли максимальной симметрии.
5.21. Метрика сферически-симметричного трёхмерного пространства.
5.22. Построение шести векторов Киллинга.
5.23. Открытая, замкнутая и плоская Вселенные.
5.24. Библиография.
6. СВЯЗНОСТИ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ.
6.1. Введение.
6.2. Параллельность на искривлённых поверхностях.
6.3. Ковариантная производная.
6.4. Компоненты: ковариантные производные базиса.
6.5. Кручение.
6.6. Геодезические.
6.7. Нормальные координаты.
6.8. Тензор Римана.
6.9. Геометрическая интерпретация тензора Римана.
6.10. Плоские пространства.
6.11. Согласованность связности с объёмом или метрикой.
6.12. Метрическая связность.
6.13. Аффинная связность и принцип эквивалентности.
6.14. Связности и калибровочные теории на примере электромагнетизма.
6.15. Библиография.
Приложение. Решения и указания к некоторым упражнениям.
Литература, добавленная при переводе.
Именной указатель.
Предметный указатель.
Указатель обозначений.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Геометрические методы математической физики, Шутц Б., 1984 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Шутц