Функциональный анализ, Лекции и упражнения, Дерр В.Я., 2013

Функциональный анализ, Лекции и упражнения, Дерр В.Я., 2013.

  Представляет собой элементарный курс функционального анализа (метрические, линейные нормированные, гильбертовы пространства, теория линейных операторов и функционалов, теория линейных уравнений в банаховых пространствах, дифференцирование нелинейных отображений). Большое внимание уделяется обыкновенным дифференциальным и интегральным операторам и уравнениям. Изложен теоретический материал с подробными доказательствами, упражнения и задачи по основным разделам функционального анализа, приводятся подробные решения практически всех задач. Содержит также ряд индивидуальных домашних заданий.
Для студентов математических факультетов классических и технических университетов, готовящих специалистов по математическим направлениям. Будет полезно и молодым преподавателям.




Примеры.
Докажите, что отношение ~ на множестве всех норм, определенных на одном и том же линейном пространстве, действительно есть отношение эквивалентности, т. е. является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Докажите, что линейный непрерывный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве, является сильным пределом последовательности вполне непрерывных операторов.

Докажите, что объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Покажите, что пересечение бесконечного множества открытых множеств может не быть открытым.

Оглавление
Предисловие
1. Метрические пространства
1.1. Определение и примеры
1.2. Основные понятия, связанные с метрикой
1.3. Анализ сходимости в конкретных пространствах
1.4. Полные метрические пространства
1.5. Теорема о пополнении
1.6. Принцип вложенных шаров
1.7. Принцип сжимающих отображений
1.8. Сепарабельные метрические пространства
1.9. Компактные множества
1.10. Критерий компактности множества в пространстве непрерывных функций
Упражнения
2. Линейные нормированные пространства
2.1. Определение и примеры
2.2. Конечномерные ЛНП
2.3. Прямое произведение. Изометрический изоморфизм
2.4. Ряды в банаховых пространствах
2.5. Лемма Рисса о почти перпендикуляре
2.6. Пространства с мерой. Пространство S(T,U,u)
2.7. Пространство Lp(T, U, u)
2.8. Плотные множества в Lp(T,U, u)
Упражнения
3. Гильбертовы пространства
3.1. Определение и простейшие свойства
3.2. Примеры гильбертовых пространств
3.3. Ортогональность
3.4. Ортогональные системы элементов
3.5. Ряд Фурье по ОНС
3.6. Роль пространства l2
3.7. Примеры полных ортогональных систем
Упражнения
4. Линейные операторы и функционалы
4.1. Линейные операторы и функционалы
4.2. Пространство линейных ограниченных операторов
4.3. Принцип равномерной ограниченности
4.4. Обратный оператор
Упражнения
5. Сопряженное пространство
5.1. Продолжение линейного ограниченного функционала
5.2. Следствия теоремы Банаха - Хана
5.3. Общий вид линейных непрерывных функционалов
5.4. Сопряженное пространство. Слабая сходимость
5.5. Сопряженный оператор
Упражнения
6. Вполне непрерывные операторы
6.1. Свойства линейного непрерывного оператора
6.2. Вполне непрерывные операторы
6.3. Важные примеры
6.4. Подпространство вполне непрерывных операторов
6.5. Другие свойства вполне непрерывных операторов
Упражнения
7. Спектр линейного оператора
7.1. Спектр линейного ограниченного оператора
7.2. Спектр вполне непрерывного оператора
7.3. Спектр самосопряженного вполне непрерывного оператора
Упражнения
8. Линейные уравнения в банаховых пространствах
8.1. Постановка задачи. Примеры
8.2. Первая теорема Фредгольма
8.3. Биортогональные системы
8.4. Вторая теорема Фредгольма
8.5. Третья теорема Фредгольма
8.6. Альтернатива Фредгольма
Упражнения
9. Дифференцирование нелинейных отображений
9.1. Функции со значениями в банаховых пространствах
9.2. Дифференцирование по Фреше
9.3. Примеры нахождения производной Фреше
9.4. Свойства производной Фреше
9.5. Формула линеаризации. Метод Ньютона
9.6. Производная и дифференциал Гато
9.7. Производные и дифференциалы Фреше высших порядков
Упражнения
10. Решение упражнений
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11. Дополнения.
1. Доказательство неравенств
2. Индивидуальные домашние задания
Список литературы.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Дерр