Алгебра - учебник, том 1, Глухов М.М., Елизаров В.П.

Название: Алгебра - учебник - Том 1. 2003.

Автор: Глухов М.М., Елизаров В.П.

    Учебник содержит полное и систематическое изложение материала, входящего в федеральный компонент дисциплины «Алгебра» Государственных образовательных стандартов по специальностям «Криптография» и «Компьютерная безопасность». В отличие от традиционных курсов высшей алгебры, изучаемых на математических факультетах университетов, данный курс характеризуется углубленным изучением дискретных алгебраических объектов: конечных колец, полей, линейных пространств, полугрупп преобразований, групп подстановок.

Содержание
Предисловие
Глава I. Введение
1. Предмет алгебры
2. Первоначальные понятия и обозначения из теории множеств и математической логики
3.0 математических утверждениях и методах их доказательства
Задачи
Глава II. Элементы комбинаторики
1. Отношения на множествах. Отношения эквивалентности и частичного порядка
2. Сочетания, размещения и перестановки элементов конечного множества
3. Перестановки и их классификация
Задачи
Глава III. Основные алгебраические структуры
1. Бинарные операции и их свойства
2. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией
3. Кольца и поля
4. Изоморфизм множеств с операциями
Задачи
Глава IV. Числовые кольца и поля
1. Отношение делимости в кольце Z. Деление целых чисел с остатком
2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел
3. Простые числа. Основная теорема арифметики
4. Числовые поля. Поле комплексных чисел
Задачи
Глава V. Кольца и поля вычетов
1. Сравнения целых чисел по модулю
2. Классы вычетов и операции над ними
3. Решение сравнений
Задачи
Глава VI. Кольца матриц
1. Матрицы над кольцом и операции над ними
2. Определители матриц над коммутативным кольцом с единицей
3. Подматрицы матриц. Миноры и их алгебраические дополнения
4. Обратимые матрицы. Критерий обратимости
5. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы
6. Канонические матрицы над кольцом Z
Задачи
Глава VII. Матрицы над полем
1. Ранг матрицы
2. Каноническая форма матрицы
3. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг системы векторов
4. Подпространства арифметических пространств
Задачи
Глава VIII. Системы линейных уравнений
1. Системы линейных уравнений над коммутативным кольцом с единицей. Равносильность систем уравнений. Теорема Крамера
2. Системы линейных уравнений над полем
3. Система линейных однородных уравнений
Задачи
Глава IX. Многочлены
1. Кольцо многочленов над кольцом с единицей
2. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком
3. Значение и корень многочлена. Теорема Безу. Многочлен как функция
4. Кольцо многочленов над полем. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
5. Неприводимые многочлены над полем. Каноническое разложение многочлена
6. Корни многочленов над полем. Производная
7. Многочлены над числовыми полями
8. Кольцо многочленов от нескольких переменных
9. Инвариантные подкольца. Симметрические многочлены
Задачи
Глава X. Группоиды и полугруппы
1. Подгруппоиды и подполугруппы
2. Гомоморфизмы группоидов
3. Конгруэнции на группоидах и фактор-группоиды
4. Полугруппы преобразований
5. Полугруппы бинарных отношений
Задачи
Глава XI. Основы теории групп
1. Определяющие свойства групп
2. Порядки элементов и экспонента группы
3. Подгруппы. Подгруппа, порожденная подмножеством
4. Смежные классы. Теорема Лагранжа. Подгруппы циклической группы
5. Произведения групп и подгрупп. Разложение группы
6. Классы сопряженных элементов. Нормализаторы. Центр/?-группы
7. Группы подстановок. Орбиты и стабилизаторы. Лемма Бернсайда
8. Цикловая структура и четность подстановки. Знакопеременная группа
9. Системы образующих симметрической и знакопеременной групп
10. Сопряженные элементы в симметрической группе. Уравнение Коши
11. Гомоморфизмы групп и нормальные делители
12. Теоремы об изоморфизме
13. Простые группы
14, Силовские подгруппы
Задачи
Глава XII. Конечные абелевы группы
1. Каноническое разложение конечной абелевой группы
2. Тип конечной абелевой группы
3. Перечисление конечных абелевых групп
4. Характеры конечных абелевых групп
5. Характеры конечных полей и суммы Гаусса
Задачи
Указатель имен
Предметный указатель
Литература учебная
Литература научная.



Бинарное отношение.
Известными из средней школы примерами отношений эквивалентности являются: отношения равносильности уравнений с одним неизвестным х (ему соответствует разбиение множества всех уравнений от х на классы равносильных уравнений), отношение "параллельны или равны" на множестве прямых пространства (ему соответствует разбиение всех прямых на классы параллельных прямых), отношение подобия треугольников на плоскости (ему соответствует разбиение множества всех треугольников на классы подобных треугольников).

Определение 4. Бинарное отношение на множестве А называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Множество с заданным на нем отношением частичного порядка называют частично упорядоченным.

Типичными примерами частичного порядка являются отношение теоретико-множественного включения на множестве всех подмножеств некоторого множества, отношение делимости на множестве N, отношение < на множестве R и др.

Купить книгу - Алгебра - учебник - Том 1 - Глухов М.М., Елизаров В.П.

Купить книгу - Алгебра - учебник - Том 1 - Глухов М.М., Елизаров В.П.





Теги: книга по математике :: алгебра :: учебник :: Глухов