Дробное исчисление и его применение, Нахушев А.М., 2003

Дробное исчисление и его применение, Нахушев А.М., 2003.
 
   Монография посвящена основополагающим элементам дробного исчисления, качественно новым свойствам операторов дробного интегрирования и дифференцирования и их применению к решению проблем математического моделирования различных процессов и явлений в живых и неживых системах с фрактальной структурой и памятью; к локальным и нелокальным обыкновенным и в частных производных дифференциальным уравнениям основных и смешанных типов; к задаче о вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера и спектре регуляризованного оператора дробного дифференцирования; к задаче Трикоми и к прямой задаче теории сопла Лаваля; к проблеме распределения концентрации поглощающих молекул по трассе лазерного излучения и уравнениям состояния и переноса в средах с фрактальной геометрией.




Операторы дробного интегрирования, порождённые функцией Римана.
Выход из печати в 1969 г. двух работ автора [62], [67], ставших основой нового научного направления «Краевые задачи со смещением», не мог не способствовать появлению различных обобщений операций дробного интегрирования и дифференцирования. Среди работ в этом направлении следует отметить 34], [85], [86], [95]-[97], [99 , [100], [128], [139]—[146], [153|-|161|.

В 1969 г. (см. [68], [54, с. 65]) автор обратил внимание на проблему естественного обобщения операторов дробного интегродифференцирования Римана—Лиувилля для описания необходимых нелокальных и локальных краевых условий для линейного гиперболического уравнения uхх — uуу + a(z)ux + b(z)uy + c(z)u = 0 (0.10.1).

СОДЕРЖАНИЕ.
Предисловие.
Глава 0. Вводные сведения.
0.1. Формула Харди-Литтльвуда и уравнение Абеля.
0.2. Основные свойства операторов Римана-Лиувилля.
0.3. Закон взвешенной композиции операторов дробного интегрирования с одинаковыми началами и оператор М. Сайго.
0.4. Обобщённые дробные интегралы и их взаимосвязь.
0.5. Закон композиции операторов Римана-Лиувилля и Эрдейи-Кобе
0.6. Закон взвешенной композиции операторов дробного дифференцирования и интегрирования с одинаковыми началами.
0.7. Теорема о среднем значении для уравнения Геллерстедта.
0.8. Законы композиции операторов дробного интегрирования и дифференцирования с различными началами.
0.9. Связь между интегралами Римана—Лиувилля и интегралом в смысле главного значения по Коши.
0.10. Операторы дробного интегрирования, порождённые функцией Римана.
0.11. Алгоритмы численного интегрирования и дифференцирования дробного порядка.
0.12. Дробное дифференцирование как способ определения потоков.
Глава 1. Качественные и структурные свойства операторов дискретного и непрерывного интегродифференцирования.
1.1. Континуальная производная и её связь с дискретной производной дробного порядка.
1.2. Формулы дробного и непрерывного интегрирования по частям, взаимная сопряжённость операторов дробного интегрирования и дифференцирования.
1.3. О положительности одного оператора со степенным ядром.
1.4. Новый класс положительных ядер.
1.5. Теорема о положительности обобщённого оператора дробного интегрирования с фиксированными началом и концом.
1.6. О положительности операторов дискретного и непрерывного интегрирования.
1.7. О положительности оператора дробного дифференцирования и континуального интегрирования сегментного порядка.
1.8. О структурном свойстве оператора, обратного оператору со степенным ядром.
1.9. О структурном свойстве оператора, обратного оператору дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом в общем случае.
1.10. Представление сингулярного интеграла через гипергеометрические функции.
1.11. О формулах обращения оператора дробного дифференцирования с фиксированными началом и концом (продолжение § 1.9).
1.12. Структурное свойство ядра оператора дробного интегрирования с фиксированными началом и концом и видоизменённая задача Коши.
1.13. Критерии разрешимости видоизменённой задачи Коши для уравнения типа Карлемана.
1.14. Формула обращения дробного интеграла бесконечно малого порядка.
1.15. Формула обращения оператора Адамара.
1.16. Формула обращения оператора Адамара с фиксированными началом и концом.
1.17. Континуальный аналог интегрального уравнения Абеля.
1.18. Решение непрерывного интегрального уравнения Абеля операционным методом.
1.19. Обобщённая формула Ньютона-Лейбница.
Глава 2. Задача Коши в локальной и нелокальной постановках для дискретных и непрерывных дифференциальных уравнений.
2.1. Видоизменённая задача Коши для модельного непрерывного дифференциального уравнения.
2.2. О локальной и нелокальной задаче Коши для оператора дробного дифференцирования порядка, меньшего единицы.
2.3. Редукция функций Работнова к функциям типа Миттаг-Леффлёра, Барретта. Задача Коши в постановке Барретта для дифференциального оператора дробного порядка.
2.4. Локальная задача Коши для оператора дробного дифференцирования порядка, большего единицы, но меньшего двух.
Глава 3. Аналог теоремы Ферма и спектральные вопросы для модельных дифференциальных операторов дробного порядка.
3.1. Аналог теоремы Ферма и принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка, меньшего единицы.
3.2. Видоизменённая задача Коши для вырождающегося дифференциального уравнения дробного порядка.
3.3. Аналог критерия второй производной в дробном исчислении.
3.4. О спектре обобщённого оператора Капуто.
3.5. К проблеме о вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлёра.
3.6. Принцип экстремума для обыкновенного нелокального дифференциального уравнения второго порядка.
Глава 4. Задачи Дирихле и Коши для нелокальных обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка.
4.1. Задача Дирихле для нелокального дифференциального уравнения второго порядка.
4.2. Задачи Коши и Дирихле для модельного непрерывного дифференциального уравнения второго порядка.
Глава 5. Применение элементов дробного исчисления.
5.1. Линейные математические модели вязкоупругого тела, основанные на производных дробного порядка.
5.2. Редукция определяющего уравнения Ю. Н. Работнова к модели Р. Л. Торвик-П. Дж. Торвик вязкоупругого тела.
5.3. Применение к уравнению диффузии Фурье.
5.4. Применение к гиперболо-параболическим уравнениям второго порядка с нехарактеристической линией изменения типа.
5.5. Применение к уравнению Эйлера-Дарбу-Пуассона и параболически вырождающемуся гиперболическому уравнению.
5.6. Применение к гиперболо-параболическому уравнению второго порядка с характеристической линией изменения типа.
5.7. Применение к задаче Трикоми для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа.
5.8. Применение к сплошным средам с памятью.
5.9. Уравнения переноса в средах с фрактальной геометрией.
5.10. Об одной модели распределения концентрации поглощающих молекул по трассе лазерного излучения.
5.11. Применение к проблеме регуляризации задачи Дарбу.
5.12. Задача Самарского в видоизмененной постановке для нелокального диффузионного уравнения.
5.13. Смешанная задача для однородного нелокального волнового уравнения.
5.14. Смешанная задача для неоднородного нелокального волнового уравнения.
5.15. Математическая модель процесса трансформации полей температуры и влажности в приземном слое атмосферы.
5.16. О некоторых обобщениях закона Кольрауша-Уильямса-Уоттса
5.17. Применение к уравнениям состояния вещества.
5.18. Уравнение роста численности популяции.
5.19. Применение к задаче определения формы прорези плотины.
5.20. О качественных свойствах дробного осцилляционного уравнения.
5.21. Об уравнении «фрактального» осциллятора.
5.22. Обобщённое дробное осцилляционное уравнение.
5.23. Об одном представлении обобщённого регуляризованного оператора дробного дифференцирования.
5.24. Прямая задача теории сопла Лаваля.
Список литературы.
Предметный указатель.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Дробное исчисление и его применение, Нахушев А.М., 2003 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: Нахушев