Введение в алгебру, часть 3, Основные структуры, Кострикин А.И., 2001

Введение в алгебру, Часть 3, Основные структуры, Кострикин А.И., 2001.

   Алгебраические структуры, известные из первых двух частей учебника (группы, кольца, модули), изучаются на несколько более высоком уровне. Идеи и результаты теории представлении, подкреплённые многочисленными примерами, придают всему изложению общематематическое звучание. Особое место занимают конечно порождённые абелевы группы, теоремы Силова, представления и характеры конечных групп, алгебры над классическими полями. Имеются теоретике-числовые приложения. В заключительной главе изложены основы теории Галуа.
Каждый параграф снабжён упражнениями. Ответы и наброски решений собраны в отдельном разделе. Небольшое приложение содержит формулировки серьёзных нерешённых задач.




Линейные группы Ли.
Определения и примеры. Формально говоря, группой Ли G называется дифференцируемое (С2 или даже класса, С, гладкое) многообразие, наделённое структурой группы с гладкими отображениями — умножением (х, у) ху и взятием обратного элемента X-x.

От гомоморфизма Ф: G = Н группы Ли G в группу Ли Н также требуется гладкость отображения одного многообразия в другое. То же самое относится к более частным понятиям изоморфизма групп Ли и автоморфизма группы Ли. Чаще всего имеют дело с вещественными или комплексными многообразиями и соответственно с вещественными или комплексными группами Ли.

Задание структуры многообразия предполагает, в частности, наличие топологии, поэтому группы Ли являются топологическими. Это означает, что произведение gh и взятие обратного g-l являются в данной топологии непрерывными операциями. Считаются известными понятия связности, локальной связности, компактности топологического пространства. В частности, группа называется компактной, если для соответствующего топологического пространства справедлива теорема Бореля-Лебега.

Содержание.
ПРЕДИСЛОВИЕ.
ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ.
§1. Классические группы малых размерностей.
1. Общие определения (9). 2. Параметризация групп SU(2), SO(3) (10). 3. Эпиморфизм SU(2) — SO(3) (12). 4. Геометрическое изображение группы SO(3) (14). 5. Кватернионы (14). Упражнения (18).
§2. Смежные классы по подгруппе.
1. Элементарные свойства (19). 2. Строение циклических групп (22). Упражнения (23).
§3. Действие групп на множествах.
1. Гомоморфизмы G — S (23). 2. Орбиты и стационарные подгруппы точек (24). 3. Примеры действий групп на множествах (26). 4. Однородные пространства (30). Упражнения (31).
§4. Факторгруппы и гомоморфизмы.
1. Понятие о факторгруппе (32). 2. Теоремы о гомоморфизмах групп (33). 3. Коммутант (37). 4. Произведения групп (39). 5. Образующие и определяющие соотношения (41). Упражнения (45).|
ГЛАВА 2 СТРОЕНИЕ ГРУПП.
§1. Разрешимые и простые группы.
1. Разрешимые группы (48). 2. Простые группы (50). Упражнения (54).
§2. Теоремы Силова.
Упражнения (59).
§3. Конечно порождённые абелевы группы.
1. Примеры и предварительные результаты (60). 2. Абелевы группы без кручения (61). 3. Свободные абелевы группы конечного ранга (04). 4. Строение конечно порождённых абелевых групп (00). 5. Другие подходы к проблеме классификации (67). 6. Основная теорема о конечных абелевых группах (71). Упражнения (74).
§4. Линейные группы Ли.
1. Определения и примеры (74). 2. Кривые в матричных группах (76). 3. Дифференциал гомоморфизма (78). 4. Алгебра Ли группы Ли (79). 5. Логарифм (81). Упражнения (82).
ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ.
§1. Определения и примеры линейных представлений.
1. Основные понятия (86). 2. Примеры линейных представлений (91). Упражнения (95).
§2. Унитарность и приводимость.
1. Унитарные представления (96). 2. Полная приводимость (99). Упражнения (102).
§3. Конечные группы вращений.
1. Порядки конечных подгрупп в SO(3) (103). 2. Группы правильных многогранников (105). Упражнения (108).
§4. Характеры линейных представлений.
1. Лемма Шура и её следствие (109). 2. Характеры представлений (111). Упражнения (116).
§5. Неприводимые представления конечных групп.
1. Число неприводимых представлений (117). 2. Степени неприводимых представлений (119). 3. Представления абелевых групп (121). 4. Представления некоторых специальных групп (123). Упражнения (125).
§6. Представления групп SU(2) и S0(3).
Упражнения (130).
§7. Тензорное произведение представлений.
1. Контрагредиентное представление (131). 2. Тензорное произведение представлений (132). 3. Кольцо характеров (133). 4. Инварианты линейных групп (136). Упражнения (140).
ГЛАВА 4 КОЛЬЦА И МОДУЛИ.
§1. Теоретико-кольцевые конструкции.
1. Идеалы колец и фактор кольца (142). 2. Поле разложения многочлена (144). 3. Теоремы об изоморфизме колец (147). Упражнения (149).
§2. Отдельные результаты о кольцах.
1. Целые гауссовы числа (150). 2. Каноническое разложение суммы двух квадратов (152). 3. Полиномиальные расширения факториальных колец (153). 4. Строение мультипликативной группы U(Zn) (154). Упражнения (158).
§3. Модули.
1. Первоначальные сведения о модулях (159). 2. Свободные модули (163). 3. Целые элементы кольца (166). Упражнения (167).
§4. Алгебры над полем.
1. Определения и примеры алгебр (168). 2. Алгебры с делением (тела) (170). 3. Групповые алгебры и модули над ними (174). Упражнения (183).
§5. Неприводимые модули над алгеброй Ли si(2).
1. Исходный материал (184). 2. Веса и кратности (186). 3. Старший вектор (186). 4. Классификационный результат (187). Упражнения (188).
ГЛАВА 5 НАЧАЛА ТЕОРИИ ГАЛУА.
§1. Конечные расширения полей.
1. Примитивные элементы и степени расширений (190). 2. Изоморфизм полей разложения (194). 3. Существование примитивного элемента (196). Упражнения (198).
§2. Конечные поля.
1. Существование и единственность (198). 2. Под поля и автоморфизмы конечного поля (200). 3. Формула обращения Мёбиуса и её применения (201). Упражнения (206).
§3. Соответствие Галуа.
1. Предварительные результаты (207). 2. Фундаментальное соответствие Галуа (210). 3. Иллюстрации к соответствию Галуа (211). Упражнения (215).
§4. Вычисление группы Галуа.
1. Действие группы Gal(f) на корнях многочлена f (215).
2. Многочлены и группы простой степени (217). 3. Метод приведения по модулю р (219). 4. Нормальный базис (224). Упражнения (227).
§5. Расширения Галуа и смежные вопросы.
1. Простые числа в арифметической прогрессии (228). 2. Расширения с абелевой группой Галуа (229). 3. Норма и след (230). 4. Циклические расширения (233). 5. Критерий разрешимости уравнений в радикалах (235). Упражнения (238).
§6. Жёсткость и рациональность в конечных группах.
1. Определения и формулировка основной теоремы (239).
2. Подсчёт решений (240). 3. Примеры жёсткости (243). Упражнения (245).
§7. Эпилог.
ПРИЛОЖЕНИЕ.
НЕРЕШЁННЫЕ ЗАДАЧИ.
1. Классификация конечных простых групп.
2. Регулярный автоморфизм.
3. Странная алгебра Ли.
4. Проблема Бернсайда.
5. Конечные группы полиномиальных автоморфизмов.
6. Просто приводимые группы.
7. Обратная задача Галуа.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ.
МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Введение в алгебру, часть 3, Основные структуры, Кострикин А.И., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Кострикин