Введение в современную теорию чисел, Манин Ю.И., Панчишкин А.А., 2009

Введение в современную теорию чисел, Манин Ю.И., Панчишкин А.А., 2009.

   Предлагаемая читателю книга — это переработанная и дополненная версия книги «Теория чисел I. Введение в теорию чисел» Ю. И. Манина и А. А. Панчишкина (Москва, ВИНИТИ, 1989), и её английского перевода (Encyclopeadia of Mathematical Sciences, v. 49, Springer-Verlag, 1995). Книга состоит из вводных глав к различным разделам теории чисел. Все главы объединены общей концепцией: вместе с читателем пройти от наглядных примеров теоретико-числовых объектов и задач, через общие понятия и теории, развитые на протяжении долгого времени, к некоторым новейшим достижениям и видениям современной математики и наброскам для дальнейших исследований. Новые разделы, написанные для данного издания, включают в себя сжатое изложение доказательства Уайлса большой теоремы Ферма, недавно открытый полиномиальный алгоритм проверки на простоту числа, обзор счёта рациональных точек на многообразиях и другие сюжеты; заключительная часть книги посвящена арифметическим когомологиям и некоммутативной геометрии.




Трансцендентные числа и седьмая проблема Гильберта.
Полезно сравнить приведенное элементарное доказательство с развитой теорией трансцендентных чисел, т. е. чисел, не являющихся корнями многочленов с рациональными коэффициентами. Существование таких чисел установлено Лиувиллем в 1844 г.; затем Эрмит доказал трансцендентность числа е (1873 г.), а Линдеман (1883 г.) — трансцендентность числа п (см. [147], [614], [ПО]). В рамках общей теории А. О. Гельфонда [27]) и Шнайдера получено решение седьмой проблемы Гильберта, см. [417], [93]: доказать, что «степень ав при алгебраическом основании а и алгебраическом иррациональном показателе р, как, например, число 2/2, или еп = i-2i, есть всегда или трансцендентное число, или по крайней мере иррациональное»; «...считаем очень вероятным, что такая функция, как, например, показательная, которая, очевидно, для всех рациональных значений аргумента z принимает алгебраические значения, с другой стороны, будет всегда принимать для алгебраических иррациональных значений z трансцендентные значения».

Изложение теории трансцендентных чисел выходит за рамки нашей книги, и мы рекомендуем читателю фундаментальную монографию А. Б. Шидловского [110] и прекрасную книгу Н. И. Фельдмана [93], содержащую подробное изложение вопросов, относящихся к решению седьмой проблемы Гильберта.

Оглавление.
Предисловие.
Введение.
Часть I. Задачи и приемы.
Глава 1. Элементарная теория чисел.
Глава 2. Некоторые приложения элементарной теории чисел.
Часть II. Идеи и теории.
Глава 3. Индукция и рекурсия.
Глава 4. Арифметика алгебраических чисел.
Глава 5. Арифметика алгебраических многообразий.
Глава 6. Дзета-функции и модулярные формы.
Глава 7. Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм.
Часть III. Аналогии и видения.
Глава III-0. Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание.
Глава 8. Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия (по К. Конзани и М.Марколли, 12771).    
Литература.
Предметный указатель.

Купить .





Теги: учебник по математике :: математика :: Манин :: Панчишкин :: теория чисел