Введение в теорию гармонических функций, Тиман А.Ф., Трофимов В.Н., 1968

Введение в теорию гармонических функций, Тиман А.Ф., Трофимов В.Н., 1968.
 
Книга имеет целью ознакомить читателя, владеющего математическим анализом в объеме первых двух курсов университета или пединститута, с основными положениями классической теории гармонических функций. Изложение, носящее достаточно элементарный характер, ведется для функций произвольного числа действительных переменных.
Основой аппарата классической теории гармонических функций является общая интегральная формула Остроградского. Этой формуле и некоторым наиболее существенным ее трактовкам посвящена специальная глава. Отдельно рассматривается также фундаментальное понятие теории— оператор Лапласа и некоторые другие примыкающие к нему понятия анализа.




Формула Остроградского для произвольного конечномерного евклидова пространства.
Пусть G есть некоторая ограниченная k-мерная область, а ее граница у(G) является гладкой поверхностью, определяемой уравнением (2.1). Для определенности предположим, что внутренние точки области G задаются соотношением f(x1 ,....., xk)<0. Тогда внутренние точки дополнения области G будут определяться соотношением f(x1 ,....., xk)> 0. Приняв это соглашение, определим единичный вектор внешней нормали n = n (М) к гладкой поверхности (2.1) — границе области G—формулами (2.2) и (2.3).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава I Основная формула интегрального исчисления и некоторые следствия из нее
§ 1. Формулы Ньютона—Лейбница, Грина и Гаусса—Остроградского
§ 2. Конечномерное евклидово пространство. Интегралы по поверхности
§ 3. Формула Остроградского для произвольного конечномерного евклидова пространства
§ 4. Распространение формулы Остроградского на неограниченные области
§ 5. Обобщение формулы Остроградского
§ 6. Физическое истолкование формулы Остроградского
Глава II Оператор Лапласа
§ 1. Градиент скалярного поля, потенциальные векторные поля и оператор Лапласа
§ 2. Формулы Грина для оператора Лапласа
§ 3. Оператор Лапласа в криволинейных координатах
§ 4. Другое определение оператора Лапласа
Глава III Определение и важнейшие свойства гармонических функций
§ 1. Линейная функция и некоторые ее свойства
§ 2. Гармонические функции, их определение и интегральные свойства, вытекающие из формулы Грина для оператора Лапласа
§ 3. Принцип максимума и минимума для гармонических функций
§ 4. Гармонические функции и преобразование Кельвина
§ 5. Некоторые важные примеры. Аналитическая природа гармонических функций
Глава IV Формула Пуассона и некоторые вытекающие из нее дальнейшие свойства гармонических функций
§ 1. Функция Грина и общая формула, связывающая значения гармонической функции внутри области с ее значениями на границе
§ 2. Формула Пуассона для гармонической в шаре функции
§ 3. Основные свойства ядра Пуассона
§ 4. Задача Дирихле и основные свойства функции Грина в общем случае
§ 5. Общая формула для решения задачи Дирихле
§ 6. О задаче Дирихле для неограниченных областей
§ 7. Формула Пуассона для внешности шара и для полупространства
§ 8. Некоторые дальнейшие свойства гармонических функций
§ 9. Последовательности гармонических функций и теоремы Гарнака
§ 10. Разложение гармонических функций в ряд по сферическим функциям Лапласа
§ 11. Об одном экстремальном свойстве интегралов Пуассона и его применении к задаче Дирихле
Глава V Интеграл энергии и гармонические функции
§ 1. Интеграл Дирихле и его физическая трактовка
§ 2. Совокупность функций, для которых существует интеграл энергии. Обобщение интеграла энергии
§ 3. Неравенства Пуанкаре и Фридрихса для интеграла энергии
§ 4. Интеграл Дирихле для гармонических функций
§ 5. О принципе Дирихле
§ 6. Пример Адамара и принцип Дирихле для шаровой области
Глава VI О субгармонических и супергармонических функциях
§ 1. Выпуклые функции одной переменной
§ 2. Определение субгармонических функции и некоторые примеры
§ 3. Некоторые основные свойства субгармонических функций
§ 4. Принцип максимума для субгармонических функций и простейшие следствия
§ 5. Дальнейшая связь с гармоническими функциями
§ 6. Применение к задаче Дирихле
§ 7. Пример Лебега
Литература.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Введение в теорию гармонических функций, Тиман А.Ф., Трофимов В.Н., 1968 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по математике :: математика :: математическая физика :: Тиман :: Трофимов.