Инверсия, Жижилкин И.Д., 2009

Инверсия, Жижилкин И.Д., 2009.

  Инверсия — отображение плоскости на себя, которое может переводить окружности в прямые. С одной стороны, это помогает решать «школьные» геометрические задачи, особенно те, в которых речь идёт о многих пересекающихся или касающихся окружностях. В то же время знакомство с инверсией необходимо для дальнейшего изучения таких разделов математики, как комплексный анализ и геометрия Лобачевского.
После определения и вывода основных свойств инверсии в брошюре разбираются классические задачи Архимеда, Паппа, Аполлония. Рассказывается также об инверсии пространства, стереографической проекции сферы на плоскость, пучках окружностей и сфер, что приводит к доказательству знаменитой теоремы Понселе.
Материал брошюры рассчитан на старшеклассников, учителей математики и всех интересующихся элементарной геометрией.



РАСШИРЕННАЯ ПЛОСКОСТЬ.
Формулировка теоремы 4, к сожалению, не является вполне корректной. Неприятность возникает при попытке применить её к двум равным окружностям. Действительно, для двух непересекающихся или касающихся окружностей, не лежащих одна внутри другой, центром серединной окружности служит внешний центр гомотетии. Но для двух равных окружностей внешний центр гомотетии не существует. Получается, что к формулировке надо добавить ещё несколько строк, описывающих этот частный случай. Однако лучше поступить совсем другим образом.

Попробуем рассмотреть две «почти равные» окружности. Внешний центр гомотетии лежит где-то «очень далеко», а радиус серединной окружности весьма велик по сравнению с исходными окружностями. Если радиусы исходных окружностей будут отличаться всё меньше и меньше, то радиус серединной окружности будет становиться всё больше и больше, а сама серединная окружность будет «выпрямляться», становясь всё больше похожей на прямую. Эта предельная прямая является, конечно же, осью симметрии двух равных окружностей.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Вступление
Определение
Построение
Свойства инверсии
Серединная окружность
Расширенная плоскость
Конформность
Ортогональные окружности
Задача Архимеда
Задача Паппа
Стереографическая проекция
Задача о бабочке
Поляры
Пучки окружностей
Радикальная ось
Поризм Штейнера
Соосные окружности
Окружность Аполлония
Обобщённая окружность Аполлония
Теорема Понселе
Задача Аполлония.

Купить книгу Инверсия, Жижилкин И.Д., 2009 .





Теги: учебник по математике :: математика :: Жижилкин :: задача Аполлония