Геометрия и биллиарды, Табачников С., 2011

Геометрия и биллиарды, Табачников С., 2011.
 
  Теория математических биллиардов описывает движение материальной точки в области с упругим отражением от границы или, что-то же самое, поведение лучей света в области с зеркальной границей. В книге отражены связи теории биллиардов с дифференциальной геометрией, классической механикой и геометрической оптикой. Кроме того, подробно изучаются вариационные принципы биллиардной динамики, симплектическая геометрия лучей света и интегральная геометрия, существование и несуществование каустик, оптические свойства кривых и поверхностей второго порядка, вполне интегрируемые биллиарды, периодические биллиардные траектории, биллиарды в многоугольниках, механизмы возникновения хаоса, а также менее известные внешние биллиарды.


Предпосылки: механика и оптика.
Математический биллиард состоит из области, скажем лежащей в плоскости (биллиардный стол), и точечной массы (биллиардный шар), которая свободно движется внутри области. Это означает, что точка движется вдоль прямой с постоянной скоростью до момента соударения с границей. Отражение от границы считаем упругим; оно подчиняется известному закону: угол падения равен углу отражения. После отражения масса продолжает свое движение с новой скоростью до нового соударения с границей и т. д., см. рис. 1.

Эквивалентное описание биллиардного отражения состоит в том, что в точке удара скорость приближающегося биллиардного шара раскладывается на нормальную и тангенциальную компоненты. При отражении нормальная составляющая мгновенно меняет знак, тогда как тангенциальная составляющая остается той же. В частности, величина скорости точки не меняется, и всегда можно считать, что точка движется с единичной скоростью.

Это описание отражения биллиарда применяется к областям в многомерном пространстве и, в общем случае, к другим геометриям, а не только к евклидовой. Конечно, предполагается, что отражение происходит в гладкой точке границы. Например, если биллиардный шар ударяется в угол биллиардного стола, отражение не определено и движение шара обрывается в этой точке.

Оглавление
Предисловие
Глава 1. Предпосылки: механика и оптика
1.1. Отступление. Вычисление п с помощью биллиарда
1.2. Отступление. Конфигурационные пространства
1.3. Отступление. Принцип Гюйгенса, финслерова метрика, финслеровы биллиарды
1.4. Отступление. Брахистохрона
Глава 2. Биллиард в круге и квадрате
2.1. Отступление. Распределение первых цифр и закон Бенфорда
2.2. Отступление. Последовательности Штурма
Глава 3. Биллиардное отображение и интегральная геометрия
3.1. Отступление. Четвертая проблема Гильберта
3.2. Отступление. Симплектическая редукция
Глава 4. Биллиарды внутри конических сечений и квадратичных поверхностей
4.1. Отступление. Поризм Понселе
4.2. Отступление. Полная интегрируемость, теорема Арнольда-Лиувилля
Глава 5. Существование и несуществование каустик
5.1. Отступление. Эволюты и эвольвенты
5.2. Отступление. Математическая теория радуги
5.3. Отступление. Теоремы о четырех вершинах и Штурма-Гурвица
5.4. Отступление. Проективная плоскость
Глава 6. Периодические траектории
6.1. Отступление. Геометрическая теорема Пуанкаре
6.2. Отступление. Периодические орбиты Биркгофа и теория Обри-Мазера
6.3. Отступление. Теория Морса
Глава 7. Биллиарды в многоугольниках
7.1. Отступление. Теорема Пуанкаре о возвращении
7.2. Отступление. Замкнутые геодезические на поверхностях многогранника, кривизна и теорема Гаусса-Бонне
Глава 8. Хаотические биллиарды
Глава 9. Двойственные биллиарды
Дополнение
Литература
Дополнительная литература
Предметный указатель.

Купить.





Теги: учебник по геометрии :: геометрия :: Табачников :: закон Бенфорда