Ряды, Виленкин Н.Я., Цукерман В.В., 1982

Ряды, Виленкин Н.Я., Цукерман В.В., 1982.

   Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов.
Учебное пособие для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделам «Ряды» и «Ряды Фурье» программы курса «Математический анализ». В основу книги легли лекции, неоднократно читавшиеся авторами студентам МГЗПИ.

   Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделам «Ряды» и «Ряды Фурье» программы курса «Математический анализ». Мы не сочли целесообразным, в отличие от действующей сейчас программы, отрывать изучение рядов Фурье от изучения функциональных рядов. Кроме того, мы считали полезным до изучения общей теории числовых и функциональных рядов получить разложение в степенные ряды основных элементарных функций — это позволяет студентам заранее приобрести общую ориентировку в вопросах, с которыми им предстоит познакомиться.
Первая глава книги содержит основные понятия о рядах и доказательство свойств сходящихся рядов, а также вывод формул для разложения элементарных функций в степенные ряды.
Вторая глава посвящена числовым рядам. Отметим упрощение доказательств теоремы об умножении рядов и теоремы Лейбница, для последней доказательство непосредственно сводится к теореме о стягивающейся системе отрезков (иной формулировкой, которой она и является). Одновременно рассматриваются числовые ряды в комплексной области.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава I. Основные понятия, формула и ряд Тейлора 6
§ 1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числового ряда—
1. Числовые ряды —
2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды 7
§ 2. Свойства сходящихся рядов 11
1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда —
2. Свойства сходящихся рядов 13
§ 3. Функциональные ряды и их область сходимости 16
1. Степенные ряды 17
2. Тригонометрические ряды 18
§ 4. Формула Тейлора —
§ 5. Разложение функций в ряд Тейлора 26
1. Ряд Тейлора —
2. Разложение функции у = lg (1 + *) 29
3. Разложение функции у = arctg х 30
4. Разложение в степенной ряд функции у = ех —
5. Разложение в степенной ряд функций у = sin х, у = cos х —
6. Разложение функции у = (1 + х)а, где \х\ < 1 и а — любое число 31
7. Разложение других элементарных функций 33
Глава II. Числовые ряды 40
§ 6. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами —
1. Признаки сравнения —
2. Признаки сходимости Даламбера и Коши 42
3. Интегральный признак сходимости Коши 44
4. Примеры исследования рядов на сходимость 47
§ 7, Свойства рядов с неотрицательными членами 55
1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членагми —
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами —
§ 8. Знакопеременные ряды 58
1. Теорема Лейбница —
2. Абсолютно сходящиеся ряд 62
3. Свойства абсолютно сходящихся рядов 63
4. Свойства условно сходящихся рядов 67
§ 9. Числовые ряды в комплексной области 69
Глава III. Функциональные ряды 75
§ 10 Область сходимости функциональных рядов —
§ 11. Равномерная сходимость функциональных рядов 79
1. Введение —
2. Чебышевское расстояние между функциями 80
3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности 82
4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса 83
5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости 85
§ 12. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов 87
1. Почленное интегрирование функциональных рядов —
2. Почленное дифференцирование функциональных рядов 90
§ 13. Функции комплексного переменного. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области 93
1. Функции комплексного переменного —
2. Дифференцирование функций комплексного переменного 94
3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области 95
Глава IV. Степенные ряды 97
§ 14. Круг сходимости степенного ряда —
1. Теорема Абеля —
2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости 98
3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда 103
§ 15. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенных рядов 106
1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области —
2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области 110
3. Единственность разложения функции в степенной ряд 111
§ 16. Показательная и тригонометрические функции в комплексной области 114
1. Показательная функция в комплексной области —
2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера 115
§ 17. Некоторые приложения рядов 120
1. Вычисление значений функций и интегралов —
2. Вычисление пределов 121
3. Метод последовательных приближений 122
Глава V. Ряды Фурье 126
§ 18. Ортонормированные системы функций —
1. Введение —
2. Скалярное произведение функций 127
3. Ортонормированные системы функций 129
§ 19. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье 131
1. Коэффициенты Фурье —
2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций 133
§ 20. Лемма Римана 135
1. Кусочно гладкие функции —
2. Лемма Римана 138
§ 21. Достаточные условия сходимости рядов Фурье 139
1. Формула для частичных сумм ряда Фурье —
2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье 141
3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье 143
4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье
5. Примеры разложения функций в ряды Фурье 144
Ответы к упражнениям 152

Купить книгу Ряды, Виленкин Н.Я., Цукерман В.В., 1982 .

Купить книгу Ряды, Виленкин Н.Я., Цукерман В.В., 1982 .





Теги: учебник по математике :: математика :: Виленкин :: Цукерман :: теорема Лейбница