комбинаторика

Градуированные алгебры и 14 проблема Гильберта, Аржанцев И.В., 2009.
     
   Учебное пособие посвящено классическим задачам коммутативной алгебры и теории инвариатов. Помимо начальных сведений о градуированных алгебрах, их рядах Пуанкаре и многочленах Гильберта, приводятся доказательства теоремы Маколея о размерностях компонент стандартных градуированных алгебр, формулы Молина для ряда Пуанкаре алгебры инвариантов конечной линейной группы и теоремы Нагаты—Стейнберга о том, что алгебра инвариантов некоторой явно заданной линейной алгебраической группы не является конечно порожденной. Последний результат является контрпримером к 14-й проблеме Гильберта. Пособие содержит более 40 задач, к каждой из которых даны подробные указания. Излагаемый материал доступен студентам младших курсов физико-математических специальностей университетов.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников, интересующихся алгеброй, геометрией и комбинаторикой.

ЕГЭ 2025, Математика, Профильный уровень, Навигатор самостоятельной подготовки, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

Фрагмент из книги:
Нужно знать понятия:
элементарное событие (исход) в случайном опыте;
случайное событие, вероятность случайного события;
противоположные события, вероятности противоположных событий;
формулу сложения вероятностей;
условная вероятность, независимые события, правило умножения вероятностей;
испытания Бернулли.

Комбинаторика, Статистика, Вероятность, Шахмейстер А.Х., 2012.

Предлагаемая серия книг адресована широкому кругу учащихся средних школ, классов и школ с углубленным изучением математики, абитуриентов, студентов педагогических вузов, учителей. Книги можно использовать как самостоятельные учебные пособия (самоучители), как задачники по данной теме и как сборники дидактических материалов. Каждая книга снабжена программой элективного курса.

150 задач по теории вероятностей, Гохман О.Г., Гудович А.Н.

Теория вероятностей применяется при решении часто встречающихся задач определения вероятности наступления некоторого события в результате проведения опыта (испытания). Значительная часть таких задач относится к опытам, элементарные исходы которых обладают симметрией (равной возможностью наступления). Для вычисления вероятностей возможных исходов опыта достаточно знания условий его проведения  и  некоторых формул  комбинаторики. В комбинаторике рассматриваются способы составления различных комбинаций из элементов некоторого конечного множества. Изучим следующие комбинации — перестановки, размещения, сочетания.

ЕГЭ 2024, Математика, Профильный уровень, Навигатор самостоятельной подготовки, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей.

Фрагмент из книги.
Нужно знать:
элементарное событие (исход) в случайном опыте;
случайное событие, вероятность случайного события;
противоположные события, вероятности противоположных событий;
формулу сложения вероятностей;
условная вероятность, независимые события, правило умножения вероятностей;
испытания Бернулли.

Линейные неравенства и комбинаторика, Вялый М.Н.

Теория линейных неравенств называется линейным программированием. По существу она совпадает с геометрией многогранников в пространстве произвольной конечной размерности. Здесь мы рассмотрим несколько примеров приложений линейного программирования к доказательству комбинаторных теорем. Первым примером будут совершенные графы. Граф называется совершенным, если минимальное цветов для правильной раскраски любого его подграфа совпадает с максимальным числом попарно соседних вершин. (Подробнее смотри ниже.) Есть много других способов охарактеризовать совершенные графы. Одно из таких утверждений имеет прямое отношение к линейному программированию. С каждым графом можно связать систему линейных неравенств. Оказывается, что множество решений этой системы в случае совершенного графа устроено проще, чем в общем случае. Используя такую характеризацию совершенных графов, можно доказать знаменитую гипотезу Бержа (слабый вариант), которая утверждает, что дополнение совершенного графа тоже совершенный граф. Второй сюжет, который обсуждается ниже — очень важная теорема линейного программирования, так называемая теорема двойственности. У этой теоремы есть много приложений к комбинаторике, здесь будут рассмотрены несколько характерных примеров. Изложение сопровождается задачами. Часть из них — упражнения, которые читателю рекомендуется обязательно выполнить для проверки понимания прочитанного. Остальные — довольно трудные задачи, лежащие несколько в стороне от основного сюжета. Такие задачи отмечены звёздочками. В заключительном разделе приводятся решения некоторых задач.

Популярная комбинаторика, Виленкин Н.Я., 1975.

   Комбинаторика — важный раздел математики, знание которого необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по кодам и др. Комбинаторные методы лежат в основе решения многих задач теории вероятностей и ее приложений. В книге в популярной форме рассказывается об интересных комбинаторных задачах и методах их решении.

Комбинаторная оптимизация, теория и алгоритмы, Бабенко М.А., Корте Б., Фиген Й., 2015.

Комбинаторная оптимизация — это широкая и бурно развивающаяся область математического программирования и дискретной математики, исследующая структурные и оптимизационные задачи на объектах, имеющих выраженный комбинаторный смысл. Книга известных немецких математиков фундаментальна по содержанию и основана на многочисленных прочитанных авторами курсах лекций. Она в необходимой мере представляет теоретические основы области (линейное и целочисленное программирование, точные и приближенные решения и их алгоритмическая сложность, NP-полнота и NP-трудность), подробно излагает классические разделы комбинаторной оптимизации (в частности, задачи о путях, потоках, паросочетаниях, матроидах), и доходит до освещения ряда новейших направлений и результатов. Тщательный стиль изложения алгоритмов и доказательств и большое количество удачно подобранных упражнений позволяют рекомендовать книгу как учебное пособие для студентов и аспирантов соответствующих специальностей математики и теоретической информатики. Обилие литературных ссылок, качественное представление о современном состоянии данной науки, а также обозначение ее «переднего края» и «точек роста» вызовут бесспорный интерес у исследователей.