Алгебра, Рациональные и иррациональные алгебраические задачи, элективный курс, Земляков А.Н., 2012

Алгебра, Рациональные и иррациональные алгебраические задачи, Элективный курс, Земляков А.Н., 2012.

   В пособии, построенном как самоучитель, рассмотрены все типы задач по элементарной алгебре, входящие в школьную программу и программу вступительных экзаменов в вузы. Излагаются не рецепты, а методы решения алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, задач с параметрами и с логическими условиями. При этом основной акцент делается на логике решения задач — на методах равносильных преобразований, позволяющих максимально упростить задачу; на привлечении графических, координатных и прочих наглядных приемов, помогающих, насколько это возможно, избежать ошибок.
Курс призван помочь старшеклассникам систематизировать знания и умения в элементарной алгебре; повысить свою логическую культуру, достичь уверенных навыков в решении стандартных конкурсных задач по алгебре.




Равносильность уравнений и систем с одной переменной.
Мы изложили «общие идеи», лежащие в основе всех подходов к решению алгебраических задач, т. е. к отысканию всех их решении.
Заметьте — мы употребляем слово «решение» в двух разных смыслах: решение как процесс отыскания решений данной задачи — числовых значений переменных, удовлетворяющих задаче! В лингвистике в таких случаях говорят о словах-омонимах. В математике омонимы весьма часто употребляются в качестве терминов, но, как правило, к недоразумениям это не приводит.

При этом пока остался не разъясненным точный смысл самого понятия решения алгебраической задачи. Поясним смысл общих идей и понятий на конкретном примере — отдельном классе алгебраических задач: рассмотрим уравнения с одной переменной (неизвестной) х.

Начнем с начала.
Равенство между двумя выражениями, содержащими переменную х, называется уравнением относительно х. Иначе говоря, уравнением с переменной х называется предложение, имеющее вид равенства между двумя выражениями, содержащими эту переменную.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
От издательства.
Предисловие.
Глава 1. Логика алгебраических задач.
§1.1. Основные понятия: алгебраические задачи, решения, равносильность.
1.1.1. Алгебраические задачи как предложения с переменными.
1.1.2. Равносильность и следование задач.
1.1.3. Равносильность уравнений и систем с одной переменной.
1.1.4. Совокупности и системы алгебраических задач.
1.1.5. Следование уравнений с одной переменной.
1.1.6. Неравенства с переменной и числовые неравенства.
§1.2. Задачи с параметрами и логические алгебраические задачи.
1.2.1. Что такое задача с параметром.
1.2.2. Логические задачи с параметрами.
1.2.3. Логические и кванторные формулировки задач с параметрами.
1.2.4. Функционально-графическая интерпретация задач с параметрами.
1.2.5. Координатная интерпретация задач с параметрами.
Упражнения.
Глава 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения.
§2.1. Корни многочленов. Теорема Везу.
2.1.1. Числовые кольца и поля. Кольца многочленов.
2.1.2. Корни многочленов и полиномиальных уравнений.
2.1.3. Деление многочленов на двучлен. Теорема Везу
2.1.4. Алгоритмы деления на двучлен. Метод Руффини-Горнера.
2.1.5. Делимость многочлена на двучлен. Число корней многочлена.
2.1.6. Формулы сокращенного умножения.
2.1.7. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.
2.1.8. Задание многочлена его значениями. Многочлены Лагранжа.
§2.2. Разложение многочленов. Теорема Виета и комбинаторика.
2.2.1. Полностью разложимые многочлены. Первые теоремы Виета.
2.2.2. Решение систем Виета. Пример.
2.2.3. Комбинаторное отступление 1: перестановки.
2.2.4. Перестановки с повторениями и системы Виета.
2.2.5. Комбинаторное отступление 2: сочетания.
2.2.6. Комбинаторное отступление 3: размещения.
Число перестановок с повторениями.
2.2.7. Общие система и теорема Виета.
2.2.8. Формула Ньютона для степени бинома.
§2.3. Уравнения низших степеней.
2.3.1. Линейная замена переменной в квадратном трехчлене.
2.3.2. Линейная замена переменной в многочленах.
2.3.3. Метод Руффини—Горнера и треугольник Паскаля.
2.3.4. Решение кубических уравнений.
2.3.5. Графическое исследование кубического уравнения.
2.3.6. Уравнения степени 4: схема Феррари.
§2.4. Уравнения разных степеней. Методы упрощения
2.4.1. Простейшие полиномиальные уравнения.
2.4.2. Лилейные замены, основанные на симметрии.
2.4.3. Метод разложения. Поиск рациональных корней.
2.4.4. Применение теоремы о рациональных корнях к решению уравнений.
2.1.5. Применение теоремы о корнях к числовым задачам.
2.4.6. Разложение методом неопределенных коэффициентов.
Упражнения.
Задачи по комбинаторике.
Глава 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.
§3.1. Рациональные алгебраические уравнения.
3.1.1. Рациональные алгебраические выражения и задачи.
3.1.2. Метод замены.
3.1.3. Симметрические и кососимметрические уравнения.
§3.2. Рациональные алгебраические неравенства.
3.2.1. Зачем бывает нужно решать неравенства?.
3.2.2. Простейшие рациональные неравенства.
3.2.3. Методы решения рациональных алгебраических неравенств.
3.2.4. Сведение к системам неравенств.
3.2.5. Метод интервалов.
3.2.6. Метод замены.
3.2.7. Неравенства с двумя переменными.
3.2.8. Метод областей.
Упражнения.
Глава 4. Рациональные алгебраические системы.
§4.1. Уравнения с несколькими переменными.
4.1.1. Решение уравнений с двумя переменными.
4.1.2. Рациональные уравнения с двумя переменными.
4.1.3. Однородные уравнения с двумя переменными.
4.1.4. О симметрических многочленах от двух переменных.
§4.2. Решение систем. Метод подстановки. Однородные системы.
4.2.1. Общий метод подстановки.
4.2.2. Линейные подстановки.
4.2.3. Однородные системы.
4.2.4. Исключение переменных. Равносильные линейные преобразования.
§4.3. Решение систем: метод замены. Симметрические системы.
4.3.1. Метод замены.
4.3.2. Системы Виета.
4.3.3. Общие симметрические системы.
§4.4. Решение систем: метод разложения. Частные методы и приемы.
4.4.1. Решение систем методом разложения.
4.4.2. Примечательный пример.
4.4.3. Поучительный пример.
4.4.4. Метод оценок.
4.4.5. Метод итераций.
4.4.6. Сведение уравнений к системам.
4.4.7. Оценка значений переменных.
§4.5. Системы с тремя переменными.
4.5.1. Метод подстановки.
4.5.2. Метод замены.
4.5.3. Использование однородности.
4.5.4. Система Виета с тремя переменными.
4.5.5. Симметрические системы.
4.5.6. Метод разложения.
Упражнения.
Глава 5. Иррациональные алгебраические задачи.
§5.1. Уравнения с радикалами.
5.1.1. Иррациональные алгебраические выражения.
5.1.2. Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
5.1.3. Неэквивалентные преобразования с проверкой.
5.1.4. Метод эквивалентных преобразований.
5.1.5. Сведение уравнений к системам.
5.1.6. Освобождение от кубических радикалов.
5.1.7. Использование монотонности.
5.1.8. Использование однородности.
§5.2. Неравенства с радикалами.
5.2.1. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.
5.2.2. Эквивалентные преобразовать неравенств.
5.2.3. Дробно-иррациональные неравенства.
5.2.4. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.
5.2.5. Замена при решении иррациональных неравенств.
5.2.6. Использование монотонности при решении неравенств.
5.2.7. Смешанные системы с двумя переменными.
§5.3. Уравнения и неравенства с модулями.
5.3.1. Уравнения с модулями.
5.3.2. Неравенства с модулями.
5.3.3. Комбинированные задачи с модулями.
Упражнения.
Ответы и указания к упражнениям.
Глава 1.
Глава 2.
Задачи по комбинаторике.
Глава 3.
Глава 4.
Глава 5.



Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Алгебра, Рациональные и иррациональные алгебраические задачи, элективный курс, Земляков А.Н., 2012 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать файл № 1 - pdf
Скачать файл № 2 - djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.Купить эту книгу


Скачать - djvu - Яндекс.Диск.

Скачать - pdf - Яндекс.Диск.




Теги: учебник по алгебре :: алгебра :: Земляков