Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 3, Фихтенгольц Г.М.

Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. - Том 3 - 2003.

Фундаментальный учебник по математическому анализу, выдержавший множество изданий и переведенный на ряд иностранных языков, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой - простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами, иллюстрирующими теорию. "Курс..." предназначен для студентов университетов, педагогических и технических вузов и уже в течение длительного времени используется в различных учебных заведениях в качестве одного из основных учебных пособий. Он позволяет учащемуся не только овладеть теоретическим материалом, но и получить наиболее важные практические навыки. "Курс..." высоко ценится математиками как уникальная коллекция различных фактов анализа, часть которых невозможно найти в других книгах на русском языке. Первое издание вышло в 1948 г.

Купить - Книгу - Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. - Том 3 .com

Купить - Книгу - Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. - Том 3 .net


ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава пятнадцатая
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
§ 1 Криволинейные интегралы первого типа
543 Определение криволинейного интеграла первого типа 11
544 Сведение к обыкновенному определенному интегралу 14
545 Примеры 16
§ 2 Криволинейные интегралы второго типа
546 Определение криволинейных интегралов второго типа 21
547 Существование и вычисление криволинейного интеграла
второго типа 23
548 Случай замкнутого контура Ориентация плоскости 27
549 Примеры 29
550 Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной 33
551 Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 35
552 Примеры 39
553 Связь между криволинейными интегралами обоих типов 42
554 Физические задачи 44
§ 3 Условия независимости криволинейного интеграла от пути
555 Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале 50
556 Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути 52
557 Вычисление криволинейного интеграла через первообразную 54
558 Признак точного дифференциала и нахождение первообразной
в случае прямоугольной области 56
559 Обобщение на случай произвольной области 58
560 Окончательные результаты 62
561 Интегралы по замкнутому контуру 62
562 Случай неодносвязной области или наличия особых точек 65
563 Интеграл Гаусса 70
564 Трехмерный случай 73
565 Примеры 76
566 Приложение к физическим задачам 80
§ 4 Функции с ограниченным изменением
567 Определение функции с ограниченным изменением 83
568 Классы функций с ограниченным изменением 86
569 Свойства функций с ограниченным изменением 89
570 Критерии для функций с ограниченным изменением 92
571 Непрерывные функции с ограниченным изменением 94
572 Спрямляемые кривые 97
§ 5 Интеграл Стилтьеса
573 Определение интеграла Стилтьеса 99
574 Общие условия существования интеграла Стилтьеса 101
575 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса 102
576 Свойства интеграла Стилтьеса 106
577 Интегрирование по частям 108
578 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана 109
579 Вычисление интегралов Стилтьеса 112
580 Примеры 116
581 Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса 123
582 Теорема о среднем, оценки 124
583 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса 126
584 Примеры и дополнения 128
585 Сведение криволинейного интеграла второго типа к интегралу Стилтьеса 133
Глава шестнадцатая
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1 Определение и простейшие свойства двойного интеграла
586 Задача об объеме цилиндрического бруса 136
587 Сведение двойного интеграла к повторному 138
588 Определение двойного интеграла 140
589 Условия существования двойного интеграла 142
590 Классы интегрируемых функций 144
591 Нижний и верхний интегралы как пределы 146
592 Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов 147
593 Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование по области 151
§ 2 Вычисление двойного интеграла
594 Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области 154
595 Примеры 158
596 Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области 168
597 Примеры 172
598 Механические приложения 186
599 Примеры 188
§ 3 Формула Грина
600 Вывод формулы Грина 196
601 Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных интегралов 200
602 Примеры и дополнения 202
§ 4 Замена переменных в двойном интеграле
603 Преобразование плоских областей 205
604 Примеры 208
605 Выражение площади в криволинейных координатах 213
606 Дополнительные замечания 216
607 Геометрический вывод 218
608 Примеры 220
609 Замена переменных в двойных интегралах 230
610 Аналогия с простым интегралом Интеграл по ориентированной области 232
611 Примеры 234
§ 5 Несобственные двойные интегралы
612 Интегралы, распространенные на неограниченную область 241
613 Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного интеграла 244
614 Приведение двойного интеграла к повторному 247
615 Интегралы от неограниченных функций 249
616 Замена переменных в несобственных интегралах 252
617 Примеры 254
Глава семнадцатая
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1 Двусторонние поверхности
618 Сторона поверхности 271
619 Примеры 273
620 Ориентация поверхностей и пространства 275
621 Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали 278
622 Случай кусочно-гладкой поверхности 280
§ 2 Площадь кривой поверхности
623 Пример Шварца 281
624 Определение площади кривой поверхности 284
625 Замечание 285
626 Существование площади поверхности и ее вычисление 287
627 Подход через вписанные многогранные поверхности 292
628 Особые случаи определения площади 294
629 Примеры 295
§ 3 Поверхностные интегралы первого типа
630 Определение поверхностного интеграла первого типа 310
631 Сведение к обыкновенному двойному интегралу 310
632 Механические приложения поверхностных интегралов первого типа 313
633 Примеры 315
§ 4 Поверхностные интегралы второго типа
634 Определение поверхностного интеграла второго типа 322
635 Простейшие частные случаи 325
636 Общий случай 328
637 Деталь доказательства 330
638 Выражение объема тела поверхностным интегралом 331
639 Формула Стокса 336
640 Примеры 339
641 Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных интегралов в пространстве 345
Глава восемнадцатая
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1 Тройной интеграл и его вычисление
642 Задача о вычислении массы тела 348
643 Тройной интеграл и условия его существования 349
644 Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов 351
645 Вычисление тройного интеграла, распространенного
на параллелепипед 353
646 Вычисление тройного интеграла по любой области 355
647 Несобственные тройные интегралы 357
648 Примеры 357
649 Механические приложения 366
650 Примеры 367
§ 2 Формула Гаусса-Остроградского
651 Формула Остроградского 376
652 Приложение формулы Остроградского к исследованию поверхностных интегралов 379
653 Интеграл Гаусса 380
654 Примеры 382
§ 3 Замена переменных в тройных интегралах
655 Преобразование пространств и криволинейные координаты 387
656 Примеры 389
657 Выражение объема в криволинейных координатах 391
658 Дополнительные замечания 394
659 Геометрический вывод 395
660 Примеры 397
661 Замена переменных в тройных интегралах 406
662 Примеры 407
663 Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку 412
§ 4 Элементы векторного анализа
664 Скаляры и векторы 415
665 Скалярное и векторное поля 416
666 Градиент 417
667 Поток вектора через поверхность 419
668 Формула Остроградского Дивергенция 420
669 Циркуляция вектора Формула Стокса Вихрь 422
670 Специальные поля 424
671 Обратная задача векторного анализа 428
672 Приложения 429
§ 5 Многократные интегралы
673 Задача о притяжении и потенциале двух тел 435
674 Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл 438
675 Замена переменных в n-кратном интеграле 440
676 Примеры 444
Глава девятнадцатая
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1 Введение
677 Периодические величины и гармонический анализ 466
678 Определение коэффициента по методу Эйлера-Фурье 469
679 Ортогональные системы функций 472
680 Тригонометрическое интерполирование 477
§ 2 Разложение функций в ряд Фурье
681 Постановка вопроса Интеграл Дирихле 480
682 Первая основная лемма 483
683 Принцип локализации 485
684 Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье 486
685 Вторая основная лемма 490
686 Признак Дирихле-Жордана 492
687 Случай непериодической функции 494
688 Случай произвольного промежутка 495
689 Разложение только по косинусам или только по синусам 497
690 Примеры 500
691 Разложение lnГ(x) 514
§ 3 Дополнения
692 Ряды с убывающими коэффициентами 517
693 Суммирование тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной 524
694 Примеры 527
695 Комплексная форма рядов Фурье 531
696 Сопряженный ряд 535
697 Кратные ряды Фурье 538
§ 4 Характер сходимости рядов Фурье
698 Некоторые дополнения к основным леммам 540
699 Признаки равномерной сходимости рядов Фурье 543
700 Проведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай 547
701 Случай произвольной функции 552
702 Особенности рядов Фурье; предварительные замечания 554
703 Построение особенностей 557
§ 5 Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции
704 Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных 559
705 Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции 561
706 Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной 562
707 Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным изменением 565
708 Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости коэффициентов Фурье 567
709 Случай функции, заданной в промежутке [0, π] 572
710 Метод выделения особенностей 574
§ 6 Интеграл Фурье
711 Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 582
712 Предварительные замечания 584
713 Достаточные признаки 586
714 Видоизменение основного предположения 588
715 Различные виды формулы Фурье 590
716 Преобразование Фурье 593
717 Некоторые свойства преобразований Фурье 596
718 Примеры и дополнения 598
719 Случай функции двух переменных 605
§ 7 Приложения
720 Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю аномалию 607
721 Задача о колебании струны 609
722 Задача о распространении тепла в конечном стержне 614
723 Случай бесконечного стержня 618
724 Видоизменение предельных условий 620
725 Распространение тепла в круглой пластине 621
726 Практический гармонический анализ Схема для двенадцати ординат 623
727 Примеры 626
728 Схема для двадцати четырех ординат 630
729 Примеры 631
730 Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов Фурье 633
Глава двадцатая РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение)
§ 1 Операции над рядами Фурье Полнота и замкнутость
731 Почленное интегрирование ряда Фурье 635
732 Почленное дифференцирование ряда Фурье 638
733 Полнота тригонометрической системы 639
734 Равномерная аппроксимация функций Теоремы Вейерштрасса 641
735 Аппроксимация функций в среднем Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье 644
736 Замкнутость тригонометрической системы Теорема Ляпунова 648
737 Обобщенное уравнение замкнутости 652
738 Умножение рядов Фурье 655
739 Некоторые приложения уравнения замкнутости 656
§ 2 Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье
740 Основная лемма 662
741 Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона-Абеля 665
742 Решение задачи Дирихле для круга 669
743 Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро-Фейера 671
744 Некоторые приложения обобщенного суммирования рядов Фурье 673
745 Почленное дифференцирование рядов Фурье 676
§ 3 Единственность тригонометрического разложения функции
746 Вспомогательные предложения об обобщенных производных 678
747 Риманов метод суммирования тригонометрических рядов 682
748 Лемма о коэффициентах сходящегося ряда 686
749 Единственность тригонометрического разложения 687
750 Заключительные теоремы о рядах Фурье 690
751 Обобщение 693
Дополнение
ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ
752 Различные виды пределов, встречающиеся в анализе 698
753 Упорядоченные множества (в собственном смысле) 699
754 Упорядоченные множества (в обобщенном смысле) 700
755 Упорядоченная переменная и ее предел 704
756 Примеры 705
757 Замечание о пределе функции 708
758 Распространение теории пределов 709
759 Одинаково упорядоченные переменные 712
760 Упорядочение с помощью числового параметра 714
761 Сведение к варианте 715
762 Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной 718
Алфавитный указатель 721

Купить - Книгу - Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. - Том 3 .com

Купить - Книгу - Курс дифференциального и интегрального исчисления - Фихтенгольц Г.М. - Том 3 .net





Теги: книга :: Фихтенгольц :: дифференциальное исчисление :: интегральное исчисление :: математический анализ :: Том 3 :: скачать :: бесплатно